อนุกรมฮาร์โมนิกและ p-Series

คำศัพท์

English	ความหมาย
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	อนุกรมฮาร์โมนิก
p-series/piː ˈsɪəriːz/	อนุกรม p

ครอบครัวของการทดสอบทั้งหมด

อนุกรมที่เกี่ยวข้องกันสองชนิดปรากฏบ่อยจนมีชื่อและกฎการลู่เข้าที่ง่าย
อนุกรมฮาร์โมนิก คือ $\sum\tfrac1n=1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$
อนุกรม p p- ทำให้ง่ายขึ้น: $\sum\tfrac1{n^p}$ สำหรับเลขชี้กำลังคงที่ $p$
เกณฑ์ชัดเจนหนึ่งจุดบน $p$ ตัดสินการลู่เข้าสำหรับทั้งครอบครัว

กฎของอนุกรม p

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}$ ลู่เข้าถ้า $p>1$ และ ลู่ออกถ้า $p\le 1$
ค่า $p$ ที่ใหญ่ขึ้นทำให้พจน์หดตัวเร็วขึ้น — เร็วพอที่จะลู่เข้าเมื่อ $p$ ผ่าน $1$
สิ่งนี้ตามโดยตรงจากการทดสอบอินทิกรัลบน $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$
จำเกณฑ์ไว้: จุดตัดอยู่ที่ $p=1$ พอดี

สำรวจ

พจน์ลดลงเร็วแค่ไหน?

p-series ลู่เข้าก็ต่อเมื่อพจน์ $\tfrac1{n^p}$ ลดลงเร็วพอ — จุดตัดอยู่ที่ $p>1$ พอดี

ฝึกฝน

p-series $\sum\tfrac1{n^p}$ ลู่เข้าพอดีเมื่อ...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$p>1$
$p<1$
$p\ge0$
$p=1$

ฝึกฝน

ค่าตัดขาดของการลู่เข้าของซีรีย์ p คือ $p=$ พอดี ____

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

อนุกรมฮาร์โมนิกเป็นเส้นแบ่ง

อนุกรมฮาร์โมนิกคือกรณี $p=1$ — และ $p=1$ ลู่ออก
พจน์ของมัน $\tfrac1n\to0$ แต่ผลรวมเพิ่มขึ้นไม่จำกัด (ช้าแต่ตลอดกาล)
มันคือตัวอย่างคลาสสิก "พจน์หดตัวแต่อนุกรมยังลู่ออก"
$p=1$ ตั้งอยู่ตรงข้ามกับจุดตัดพอดี

ฝึกฝน

อนุกรมฮาร์โมนิก $\sum\tfrac1n$ ($p=1$)...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ลู่เข้า
ลู่เข้า
ผลบวกเป็น $1$
เป็นเรขาคณิต

ฝึกฝน

ซีรีย์ฮาร์โมนิกแสดงให้เห็นว่าพจน์ที่ลู่เข้าหา $0$ ไม่การันตีการลู่เข้า

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ตรวจสอบการลู่เข้าทันที

จดจำ p-series แล้วคุณไม่ต้องทำงานทั้งหมด — เพียงเปรียบเทียบ $p$ กับ $1$
$\sum\tfrac1{n^2}$: $p=2>1$ → ลู่เข้า (converges). $\sum\tfrac1{\sqrt n}=\sum\tfrac1{n^{1/2}}$: $p=\tfrac12\le1$ → ลู่แยก (diverges)
พวกเขายังเป็นอนุกรมมาตรฐานสำหรับการทดสอบ เปรียบเทียบ (บทถัดไป)
ความรู้เรื่องอนุกรม p ช่วยเร่งความเร็วปัญหาอนุกรม很大一部分ได้มาก

ฝึกฝน

เลือก ทั้งหมด ซีรีส์ที่ลู่เข้า

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

$\sum\tfrac1{n^2}$
$\sum\tfrac1{n^3}$
$\sum\tfrac1{\sqrt n}$
$\sum\tfrac1{n}$

ฝึกฝน

$\sum\tfrac1{\sqrt n}$ เป็นซีรีย์ p ที่มี $p=\tfrac12$ ...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ลู่เข้า
ลู่เข้า
เป็นเรขาคณิต
ตัดสินไม่ได้

Watch out

จุดตัดเป็นแบบ เข้มงวด: $\sum\tfrac1{n^p}$ ลู่เข้าเฉพาะสำหรับ $p>1$ กรณีขอบเขต $p=1$ (ฮาร์โมนิก) ลู่ออก — ซึ่งเป็นกับดักที่พบบ่อยมาก เพราะพจน์ของมัน ไปหา $0$ และ $\sum\tfrac1{\sqrt n}$ คือ $p=\tfrac12$ ซึ่ง ลู่ออก (ไม่ใช่ลู่เข้า) — เป็นเลขชี้กำลังเศษส่วนต่ำกว่า $1$

Example

จำแนกแต่ละอนุกรม

$\sum\tfrac1{n^3}$: $p=3>1$ → ลู่เข้า
$\sum\tfrac1{n}$: $p=1$ → ลู่ออก (ฮาร์โมนิก)
$\sum\tfrac1{n^{0.9}}$: $p=0.9\le1$ → ลู่ออก

Key idea

อนุกรม p $\sum\tfrac1{n^p}$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $p>1$; มัน ลู่ออกสำหรับ $p\le1$ อนุกรม ฮาร์โมนิก เป็นกรณี $p=1$ ซึ่ง ลู่ออก แม้พจน์ของมันจะมุ่งหน้า hacia $0$ การระบุว่าเป็นอนุกรม p ให้คำตัดสินการลู่เข้าทันที