การทดสอบเปรียบเทียบสำหรับการลู่เข้า
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | การทดสอบเปรียบเทียบ |
การตัดสินอนุกรมโดยเพื่อนบ้านที่รู้จัก
- ถ้าอนุกรมปริศนาดูคล้ายกับอนุกรมที่คุณเข้าใจอยู่แล้ว ให้เปรียบเทียบกัน
- การทดสอบเปรียบเทียบ วัดอนุกรมบวกที่ไม่ทราบค่าเทียบกับอันที่รู้จัก (มักเป็นอนุกรม p หรืออนุกรมเรขาคณิต)
- ใหญ่กว่าสิ่งที่ลู่ออก → ลู่ออก เล็กกว่าสิ่งที่ลู่เข้า → ลู่เข้า
- สองรูปแบบ: การเปรียบเทียบโดยตรงและการเปรียบเทียบด้วยลิมิต
การทดสอบเปรียบเทียบโดยตรง
- สำหรับพจน์บวกที่มี $0\le a_n\le b_n$:
- ถ้า $\sum b_n$ ลู่เข้า แล้ว $\sum a_n$ ที่เล็กกว่าก็ ลู่เข้า เช่นกัน
- ถ้า $\sum a_n$ ลู่ออก แล้ว $\sum b_n$ ที่ใหญ่กว่าก็ ลู่ออก เช่นกัน
- สqueeze จากด้านขวา: มีขอบเขตบนโดยอนุกรมที่ลู่เข้า หรือมีขอบเขตล่างโดยอนุกรมที่ลู่ออก
เปรียบเทียบกับซีรีย์ที่ทราบแล้ว
ซีรีย์บวกที่ถูกจำกัดด้วยซีรีย์ที่ทราบแล้ว (ลู่เข้าหรือลู่去向อนันต์) จะ-sharing的命运相同的 — เลือกตัวเปรียบเทียบที่มีอิทธิพลสูงสุด
ถ้า $0\le a_n\le b_n$ และ $\sum b_n$ ลู่เข้า แล้ว $\sum a_n$ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
น้อยกว่าซีรีย์ที่ลู่เข้า → ลู่เข้า
การทดสอบเปรียบเทียบต้องการพจน์ที่เป็นบวก
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเปรียบเทียบขนาดของซีรีย์บวก
การทดสอบเปรียบเทียบด้วยลิมิต
- บางครั้งอสมการอาจยุ่งยาก; แทนที่จะใช้ลิมิต อัตราการเติบโต
- เลือก $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$ ถ้า $L$ เป็น จำนวนบวกที่มีค่าจำกัด ($0<L<\infty$) แล้ว $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ จะ มีชะตากรรมเดียวกัน
- เลือก $b_n$ จากพจน์ หลัก ของ $a_n$ (เช่น เปรียบเทียบ $\tfrac{n}{n^3+1}$ กับ $\tfrac1{n^2}$)
- ลิมิตที่เป็นบวกและมีค่าจำกัดหมายความว่าทั้งสองมีพฤติกรรมคล้ายกัน
ในการทดสอบ Limit Comparison ถ้า $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ กับ $0<L<\infty$ แล้ว ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตบวก finite → การลู่เข้ามีพฤติกรรมเหมือนกัน
เพื่อให้การทดสอบ Limit Comparison สรุปได้, ลิมิต $L$ ต้องเป็น finite และ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$0<L<\infty$ จำเป็นต้อง
การเลือกอนุกรมเพื่อเปรียบเทียบ
- ดูที่ พฤติกรรมหลัก ของ $a_n$ สำหรับค่า $n$ ใหญ่ๆ — เลขชี้กำลังสูงสุดด้านบนและด้านล่าง
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ มีพฤติกรรมเหมือน $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — เปรียบเทียบกับอนุกรม p $\tfrac1{n^2}$
- จากนั้น Either บังคับขอบเขตโดยตรงหรือคำนวณอัตราส่วนลิมิต
- อนุกรมเปรียบเทียบที่ถูกต้องเปลี่ยนอนุกรมที่น่ากลัวให้เป็นอันที่รู้จัก
เพื่อทดสอบ $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, ซีรีย์เปรียบเทียบที่ดีคือ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พฤติกรรมหลัก $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → เปรียบเทียบกับ $\tfrac1{n^2}$
เนื่องจาก $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ และ $\sum\tfrac1{n^2}$ ลู่เข้า, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ถูกจำกัดด้านบนโดยซีรีย์ที่ลู่เข้า → ลู่เข้า
การทดสอบเปรียบเทียบต้องการ พจน์บวก สำหรับ การเปรียบเทียบโดยตรง อสมการต้องชี้ในทิศทางที่ถูกต้อง: เพื่อพิสูจน์การลู่เข้า ต้องมีขอบเขต เหนือ ด้วยอนุกรมที่ลู่เข้า; เพื่อพิสูจน์การลู่ออก ต้องมีขอบเขต ใต้ ด้วยอนุกรมที่ลู่ออก สำหรับ การเปรียบเทียบด้วยลิมิต ลิมิต $L$ ต้องเป็น มีค่าจำกัดและเป็นบวก ($0<L<\infty$) จึงจะสรุปได้ว่ามีชะตากรรมเดียวกัน
آیا $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ ลู่เข้าหรือไม่?
- สำหรับค่า $n$ ใหญ่ $\dfrac{1}{n^2+1}$ มีพฤติกรรมเหมือน $\dfrac{1}{n^2}$ (อนุกรม p ที่ลู่เข้า)
- โดยตรง: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$ และ $\sum\tfrac1{n^2}$ ลู่เข้า → ดังนั้นอนุกรมที่เล็กกว่าก็ lùe เข้า
- ดังนั้น $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ ลู่เข้า
การ ทดสอบเปรียบเทียบ ตัดสินอนุกรมบวกเทียบกับอันที่รู้จัก โดยตรง: มีขอบเขตเหนือด้วยอนุกรมที่ลู่เข้า (→ ลู่เข้า) หรือมีขอบเขตใต้ด้วยอนุกรมที่ลู่ออก (→ ลู่ออก) ลิมิต: ถ้า $\lim\frac{a_n}{b_n}$ เป็น มีค่าจำกัดและเป็นบวก ทั้งสองมีชะตากรรมเดียวกัน เลือก $b_n$ จากพจน์หลักของ $a_n$