การทดสอบซีรีย์สลับเครื่องหมายสำหรับการลู่เข้า
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | อนุกรมสลับ |
อนุกรมที่มีสัญญาณสลับ
- บางอนุกรมสลับเครื่องหมาย: $+,-,+,-,\dots$ เช่นเดียวกับ $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$
- นี่คือ อนุกรมสลับเครื่องหมาย และมีกฎการลู่เข้าที่อ่อนโยนของตัวเอง
- การสลับเครื่องหมายช่วยให้พจน์หักล้างกันบางส่วน ดังนั้นอนุกรมสลับเครื่องหมายจึงลู่เข้าได้ง่ายกว่า
- การทดสอบหนึ่งชุดพร้อมเงื่อนไขสองอย่างเรียบง่ายจัดการกับพวกมันได้
การทดสอบอนุกรมสลับเครื่องหมาย
- อนุกรมสลับ $\sum(-1)^n b_n$ (ซึ่งมี $b_n>0$) ลู่เข้า เมื่อ ทั้งสองข้อ:
- 1. พจน์ลดลง: $b_{n+1}\le b_n$, และ
- 2. พจน์หดตัวเข้าหาศูนย์: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- ถ้าทั้งสองเงื่อนไขเป็นจริงอนุกรมสลับเครื่องหมายจะลู่เข้า หายใจง่ายแค่นั้นแหละ
พจน์สลับเครื่องหมายที่หดตัวลง
ถ้าส่วนบวกลดลงไปหา $0$, การเปลี่ยนสัญญาณทำให้ผลรวมย่อยเข้าใกล้กัน — ซีรีย์ลู่เข้า
การทดสอบซีรีย์สลับเครื่องหมายต้องการพจน์บวก $b_n$ ให้เป็น อย่างใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ลดลงและมีลิมิต $0$
ทำไมการสลับเครื่องหมายถึงช่วยได้
- พจน์ใหม่มีค่าน้อยกว่าพจน์ก่อนหน้าและมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน จึงไปลดทอนผลของพจน์ก่อนหน้าบางส่วน
- ผลบวกย่อยจะแกว่งไปมา แต่ด้วยระยะทางที่เล็กลงเรื่อยๆ — ลู่เข้าหาค่าลิมิต
- นั่นคือเหตุผลที่ $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ ลู่เข้า แม้ว่าจะ $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (อนุกรมฮาร์โมนิก) ลู่ไม่เข้าก็ตาม
- การสลับเครื่องหมายนี่แหละที่ควบคุมพฤติกรรมของพจน์ฮาร์โมนิกให้สงบลง
ซีรีย์ฮาร์โมนิกสลับเครื่องหมาย $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$b_n=\tfrac1n$ ลดลงไปหา $0$ → ลู่เข้า
สัญญาณ ____ ทำให้ผลรวมย่อยเข้าใกล้ลิมิต
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสลับ causing การหักล้างบางส่วน
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้าแม้ว่า $\sum\tfrac1n$ ลู่去向อนันต์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสลับควบคุมพจน์ฮาร์โมนิกไว้
การประยุกต์ใช้ให้ชัดเจน
- ตัด $(-1)^n$ ออกไป แล้วตรวจสอบ ส่วนที่เป็นบวก $b_n$ ว่ามีเงื่อนไขสองข้อหรือไม่
- $b_n$ ลดลงหรือไม่? และ $b_n\to0$? ถ้าคำตอบเป็นใช่ทั้งคู่ ลู่เข้า
- ถ้า $b_n$ ไม่ ลู่เข้าหา $0$ อนุกรมจะลู่ออก (โดยใช้ nth Term Test แทน)
- การทดสอบนี้รวดเร็วเมื่อคุณแยก $b_n$ ออกมาแล้ว
คุณตรวจสอบเงื่อนไขสองอย่างบนส่วนบวก $b_n$ หลังลบ $(-1)^n$ ออก
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แยก $b_n$ ออกมาก่อน
ถ้า $b_n\not\to0$ สำหรับซีรีย์สลับเครื่องหมาย, มัน ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พจน์ไม่ $\to0$ → ลู่去向อนันต์ไม่ว่าจะสลับหรือไม่
ใช้เงื่อนไขสองข้อกับ พจน์บวก $b_n$ (หลังตัด $(-1)^n$ ออกแล้ว) ต้องใช้ทั้งคู่: ลดลง และ ลิมิตเป็น $0$ หาก $b_n\not\to0$ อนุกรมลู่ไม่เข้า (ทดสอบเทอมที่ n) และการทดสอบนี้พิสูจน์ว่าอนุกรมสลับเครื่องหมายลู่เข้า แต่ บอกอะไรไม่ได้เกี่ยวกับ $\sum b_n$ หรือ $\sum|a_n|$ (ดูเรื่องสัมบูรณ์หรือแบบมีเงื่อนไข บทเรียน 10.9)
อนุกรมฮาร์โมนิกสลับเครื่องหมาย $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ ลู่เข้าหรือไม่?
- ส่วนบวก $b_n=\tfrac1n$ ลดลง? ใช่, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$ ลิมิตเป็น $0$? ใช่, $\tfrac1n\to0$
- ทั้งสองเงื่อนไขเป็นจริง ดังนั้นอนุกรม ลู่เข้า ตามการทดสอบอนุกรมสลับเครื่องหมาย
- (แม้ว่าอนุกรมฮาร์โมนิกธรรมดาจะลู่ไม่เข้า)
การทดสอบอนุกรมสลับเครื่องหมาย: $\sum(-1)^n b_n$ (พร้อม $b_n>0$) ลู่เข้า หากพจน์ $b_n$ ลดลง และ $b_n\to0$ ตรวจสอบทั้งสองอย่างบนส่วนบวก $b_n$ การสลับเครื่องหมายทำให้อนุกรมเช่น $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า ในขณะที่รูปแบบที่ไม่สลับเครื่องหมายลู่ไม่เข้า