การทดสอบ Ratio สำหรับการลู่เข้า
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | การทดสอบด้วยอัตราส่วน |
เปรียบเทียบพจน์หนึ่งกับพจน์ก่อนหน้า
- เมื่อพจน์มีแฟกทอเรียลหรือ $n$th พลัง จะเปรียบเทียบยาก ให้ใช้ การทดสอบอัตราส่วน แทน
- ดูว่าแต่ละพจน์เทียบกับพจน์ก่อนหน้าอย่างไร — คืออัตราส่วน $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — ในลิมิต
- อัตราที่ตกต่ำกว่า $1$ แสดงว่าพจน์หดตัวเร็วตามเรขาคณิต บังคับให้ลู่เข้า
- เป็นการทดสอบที่นิยมที่สุดสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง
การทดสอบ
- คำนวณ $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
- $L<1$: อนุกรม ลู่เข้า (สัมบูรณ์)
- $L>1$ (หรือ $L=\infty$): อนุกรม ลู่ไม่เข้า
- $L=1$: การทดสอบ ไม่มีข้อสรุป — ใช้การทดสอบอื่น
อัตราส่วนต่ำกว่า 1 บังคับให้ลู่เข้า
ถ้าอัตราส่วนของพจน์ติดกันลดลงต่ำกว่า $1$, พจน์หดตัวแบบเรขาคณิตเร็ว — ซีรีย์ลู่เข้า
ในการทดสอบ Ratio, ถ้า $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$, ซีรีย์ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L<1$ → ลู่เข้า
การทดสอบ Ratio ใช้ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนของพจน์ติดกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
แฟกทอเรียลและเลขยกกำลังชอบการทดสอบอัตราส่วน
- แฟกทอเรียลหักล้างกันอย่างสวยงาม: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — อัตราส่วนลดรูปอย่างมาก
- เหมือนกันสำหรับ $n$th พลังของค่าคงที่: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$
- ดังนั้นอนุกรมเช่น $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ หรือ $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ จึงเป็นโจทย์ที่เหมาะสมกับการทดสอบอัตราส่วน
- เขียน $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, ตัดทอน, แล้วหาลิมิต
ถ้าการทดสอบ Ratio ได้ $L=1$, แล้ว ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=1$ ให้ข้อมูลไม่มี
สำหรับ $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
การทดสอบ Ratio ทำงานได้ดีเป็นพิเศษกับซีรีย์ที่มี ...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
p-series ให้ $L=1$ (ไร้ประโยชน์); факториאל/เอ็กซ์โพเนนเชียลจัดรูปได้ง่าย
เขตมรณะ $L=1$
- เมื่อ $L=1$ การทดสอบอัตราส่วนไม่ให้ ข้อมูลใดเลย — อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ไม่เข้าก็ได้
- เกิดขึ้นกับ p-series (เช่น $\sum\tfrac1{n^2}$ ให้ $L=1$) ซึ่งควรใช้กฎ p-series แทน
- ดังนั้นการทดสอบอัตราส่วนจึงโดดเด่นในแฟกทอเรียล/เลขยกกำลัง แต่ไร้ประโยชน์ต่อเลขยกกำลังธรรมดาของ $n$
- จดจำ $L=1$ แล้วเปลี่ยนเครื่องมือ
เนื่องจาก $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$, ซีรีย์ $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=0<1$ → ลู่เข้า
-取ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วน และจำสามกรณี: $L<1$ ลู่เข้า, $L>1$ ลู่ไม่เข้า, $L=1$ ไม่มีข้อสรุป (อย่าเดา — ใช้การทดสอบอื่น) การทดสอบอัตราส่วนมีพลังสำหรับแฟกทอเรียล/เลขยกกำลัง แต่ให้ $L=1$ (ไร้ประโยชน์) กับ p-series เช่น $\sum\tfrac1{n^p}$
آیا $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ ลู่เข้าหรือไม่?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- เนื่องจาก $L<1$ อนุกรม ลู่เข้า
การทดสอบอัตราส่วน: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → ลู่เข้า, $L>1$ → ลู่ไม่เข้า, $L=1$ → ไม่มีข้อสรุป เหมาะสำหรับการทดสอบ แฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง (อัตราส่วนลดรูป); ไร้ประโยชน์ (ให้ $L=1$) กับ p-series