การกำหนดการลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าแบบ有条件
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Absolute convergence/ˈæbsəluːt kənˈvɜːdʒəns/ | ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ |
| Conditional convergence/kənˈdɪʃənl kənˈvɜːdʒəns/ | ลู่เข้าแบบเงื่อนไข |
เครื่องหมายเพียงอย่างเดียวไม่ได้ตัดสินเรื่องการลู่เข้า
- การแก้ไขความผิดพลาดสองครั้งมีพจน์ (-1)^n/n และ (-1)^n/n² ทั้งสองสลับสัญญาณ แต่มีเพียงครั้งที่สองเท่านั้นที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
- สำหรับ 1/n, ซีรีส์ค่าสัมบูรณ์คือซีรีย์ฮาร์โมนิกและลู่ออก; ซีรีส์ที่มีเครื่องหมายผ่านทดสอบซีรีย์สลับสัญญาณ สำหรับ 1/n², p-ซีรีส์ค่าสัมบูรณ์ลู่เข้า
ระดับความลู่เข้าสองระดับ
- ซีรีส์ที่ลู่เข้าสามารถลู่เข้าในรูปแบบ แข็งแกร่ง หรือรูปแบบ เปราะบาง การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์: ซีรีส์ของ ค่าสัมบูรณ์ $\sum|a_n|$ ก็ลู่เข้าเช่นกัน
- การลู่เข้าแบบเงื่อนไข: ซีรีส์ลู่เข้า แต่ $\sum|a_n|$ ลู่ออก — มันพึ่งพาการหักล้าง การแยกแยะระหว่างทั้งสองบอกให้คุณรู้ว่าผลรวมนั้นมั่นคงเพียงใด
ลู่เข้าสัมบูรณ์แข็งแกร่งกว่า
- ตรวจสอบ $\sum|a_n|$ ก่อน ถ้า มัน ลู่เข้า ซีรีส์ต้นฉบับจะลู่เข้าแบบ สัมบูรณ์ การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ implies (บ่งชี้ว่า) การลู่เข้าทั่วไป — เป็นประเภทที่ปลอดภัยและมั่นคง
- คุณ甚至可以จัดเรียงลำดับของซีรีย์ที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ได้อย่างอิสระโดยไม่เปลี่ยนผลรวม การทดสอบลู่เข้าส่วนใหญ่ (อัตราส่วน, เปรียบเทียบ) จริงๆ แล้วทดสอบ การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
การลู่เข้าพร้อมการสลับเครื่องหมาย
ซีรีย์สลับเครื่องหมายอาจลู่เข้าเพียงเพราะการหักล้าง — ซีรีย์ค่าสัมบูรณ์ของมันยังคงลู่去向อนันต์ (แบบ有条件)
ซีรีย์เป็น绝对的ลู่เข้าเมื่อ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สัมบูรณ์ = ซีรีย์ค่าสัมบูรณ์ลู่เข้า
การลู่เข้าสัมบูรณ์บ่งบอกถึงการลู่เข้า(ธรรมดา)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ประเภทที่เข้มแข็งนี้ลู่เข้าเสมอ
ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย
- ถ้า $\sum a_n$ ลู่เข้า แต่ $\sum|a_n|$ ลู่ออก, การลู่เข้าจะเป็น แบบเงื่อนไข ซีรีส์ฮาร์โมนิกสลับสัญญาณ $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ เป็นกรณีคลาสสิก: มันลู่เข้า แต่ $\sum\tfrac1n$ ลู่ออก
- การลู่เข้าของมันขึ้นอยู่กับสัญญาณสลับทั้งหมดในการหักล้าง — ลบออกแล้วมันจะระเบิดแตกสลาย เปราะบาง แต่ยังคงลู่เข้าอยู่
ซีรีย์เป็น有条件的ลู่เข้าเมื่อ $\sum a_n$ ลู่เข้าแต่ $\sum|a_n|$ ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลู่เข้าแต่ซีรีย์ค่าสัมบูรณ์ลู่去向อนันต์
การจัดเรียงใหม่ของพจน์ในซีรีย์有条件ลู่เข้าสามารถเปลี่ยนผลรวมได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มีเพียงซีรีย์绝对的ลู่เข้าที่จัดเรียงได้อย่างปลอดภัย
ขั้นตอนการตัดสินใจ
- 1. ทดสอบ $\sum|a_n|$. ถ้ามันลู่เข้า → ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (เสร็จสิ้น). 2. ถ้า $\sum|a_n|$ ลู่ออก, ทดสอบ $\sum a_n$ เอง (มักเป็นการทดสอบซีรีย์สลับสัญญาณ)
- หาก $\sum a_n$ ลู่เข้าที่ → ลู่เข้าแบบเงื่อนไข; ถ้าไม่ → ลู่ออก. คำนวณค่าสัมบูรณ์ก่อน แล้วค่อยพิจารณาอนุกรมที่มีเครื่องหมาย
ซีรีย์ฮาร์โมนิกสลับเครื่องหมาย $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ เป็น ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลู่เข้าแต่ $\sum\tfrac1n$ ลู่去向อนันต์ → แบบ有条件
เพื่อจำแนก, คุณควรทดสอบ ... ก่อน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทดสอบซีรีย์ค่าสัมบูรณ์ก่อน
ทดสอบอนุกรม ค่าสัมบูรณ์ $\sum|a_n|$ ก่อน สัมบูรณ์ = $\sum|a_n|$ ลู่เข้า; แบบมีเงื่อนไข = $\sum a_n$ ลู่เข้าแต่ $\sum|a_n|$ ลู่ไม่เข้า อนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ไม่ใช่ แบบสัมบูรณ์ — ผลบวกของมัน thậm chíอาจเปลี่ยนไปหากจัดเรียงพจน์ใหม่ อย่าเรียกอนุกรมสลับเครื่องหมายที่ลู่เข้าเพียงอย่างเดียวว่า "สัมบูรณ์"
จำแนกประเภท $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}$
- ค่าสัมบูรณ์: $\sum\tfrac1n$ เป็นอนุกรมฮาร์โมนิก → ลู่ไม่เข้า ดังนั้นไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์
- ซีรีส์นั้นเอง: สลับเครื่องหมาย, $b_n=\tfrac1n$ ลดทอนลงไป $0$ → ลู่เข้า (การทดสอบซีรีส์สลับเครื่องหมาย).
- ลู่เข้าแต่ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์ → ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข.
ขยายเหตุผลไปยังกรณีใหม่
- ลองใช้ (-1)^n n/(n+1)
- พจน์ของอนุกรมนี้ไม่ลู่เข้าที่ศูนย์ ดังนั้นจึงลู่ออกก่อนที่จะสามารถจัดประเภทว่าเป็นลู่เข้าแบบเงื่อนไขได้
Match each series to its convergence classification.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Check absolute values and the original terms. Alternation alone establishes neither convergence nor conditional convergence.
ซีรีส์หนึ่งจะ ลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้า $\sum|a_n|$ ลู่เข้า (รูปแบบที่เข้มงวด — บ่งบอกถึงการลู่เข้า อนุญาตให้จัดเรียงใหม่) และจะเป็น ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ถ้า $\sum a_n$ ลู่เข้าแต่ $\sum|a_n|$ ลู่ออก (ขึ้นอยู่กับผลลบของสัญญาณ) ให้ทดสอบ $\sum|a_n|$ ก่อน แล้วจึงพิจารณาซีรีส์ที่มีเครื่องหมาย