ขอบเขตความผิดพลาดของซีรีย์สลับเครื่องหมาย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของอนุกรมสลับ |
ผลบวกย่อยใกล้เคียงค่าจริงแค่ไหน?
- หากคุณหยุดการบวกซีรีส์สลับเครื่องหมายหลังจากพจน์แรกๆ ความคลาดเคลื่อนของค่าประมาณของคุณจะห่างจากค่าจริงเท่าไหร่?
- สำหรับซีรีส์สลับเครื่องหมายที่ลู่เข้า จะมีขอบเขตที่เรียบง่ายอย่างน่าประหลาดใจ
- ขอบเขตความผิดพลาดของซีรีส์สลับเครื่องหมาย: ความผิดพลาดจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ พจน์แรกที่ถูกตัดออก
- พจน์เดียวก็บอกความแม่นยำได้ — ไม่ต้องคำนวณที่ยุ่งยาก
ขอบเขต
- ประมาณผลรวม $S$ โดยใช้ผลบวกย่อยลำดับที่ $n$ คือ $S_n$ ส่วน เศษเหลือ (ความผิดพลาด) คือ $|S-S_n|$
- สำหรับซีรีส์สลับเครื่องหมายที่ลู่เข้า (ลดทอน $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- ความผิดพลาดจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ถัดไป — พจน์แรกที่คุณทิ้งไว้
พจน์ถัดไปจำกัดความผิดพลาด
ผลรวมย่อยของซีรีย์สลับเครื่องหมายดักจับผลรวมจริง, ดังนั้นความผิดพลาดมีค่าไม่เกินขนาดของพจน์ถัดไป (ที่ถูกละเลย)
สำหรับซีรีย์สลับเครื่องหมายที่ลู่เข้า, ความผิดพลาด $|S-S_n|$ มีค่าไม่เกิน ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
ความผิดพลาดถูกจำกัดโดยพจน์แรก ____ ไม่ใช่พจน์สุดท้ายที่ใช้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ใช้ $b_{n+1}$, พจน์ที่คุณไม่ได้บวก
ทำไมพจน์ถัดไปถึงเป็นขอบเขตได้
- เนื่องจากพจน์สลับเครื่องหมายและลดทอนลง ค่าจริงจะถูกกักขังอยู่ ระหว่าง ผลบวกย่อยสองตัวติดกันเสมอ
- ดังนั้นการหยุดที่ $S_n$ จะทำให้เกินหรือต่ำกว่าไปน้อยกว่าขนาดของพจน์ถัดไป
- ผลบวกย่อยจะหดเข้าหา $S$ เหมือนเครื่องเป่าลมที่บีบอัดเล็กลงเรื่อยๆ
- ดังนั้นพจน์ถัดไปโดยตรงจึงเป็นเพดานความผิดพลาดที่รับประกันได้
การประมาณค่า $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ ด้วย $3$ พจน์, ขอบเขตความผิดพลาดคือพจน์ถัดไป $b_4$. มันคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$b_4=\tfrac14=0.25$.
ผลรวมจริงถูกดักจับระหว่างผลรวมย่อยติดกันของซีรีย์สลับเครื่องหมายเสมอ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นั่นคือเหตุผลที่พจน์ถัดไปจำกัดความผิดพลาด
การใช้มันเพื่อรับประกันความแม่นยำ
- ต้องการความผิดพลาดต่ำกว่า $0.01$? หาพจน์แรกที่มี $b_{n+1}\le 0.01$ แล้วหยุดที่นั่น
- ขอบเขตนี้ช่วยให้คุณตัดสินใจได้ว่าต้องใช้ จำนวนพจน์ เท่าไรเพื่อให้ได้ความแม่นยำตามเป้าหมาย
- ใช้ได้เฉพาะกับ ซีรีส์สลับเครื่องหมาย ที่ผ่านเงื่อนไขการทดสอบซีรีส์สลับเครื่องหมายเท่านั้น
- เรียบง่าย กระชับ และเป็นมิตรกับการทำข้อสอบ
ขอบเขตความผิดพลาดนี้ใช้กับซีรีย์ลู่เข้าทุกชนิด, สลับหรือไม่สลับ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มีเพียงซีรีย์สลับเครื่องหมายที่ผ่านเงื่อนไขการทดสอบเท่านั้น
чтобыรับประกันความผิดพลาดต่ำกว่า $0.01$, คุณเก็บพจน์จนกว่าพจน์ถัดไป $b_{n+1}$ จะเป็น ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หยุดเมื่อ $b_{n+1}\le0.01$
ขอบเขตนี้ใช้ได้ เฉพาะ กับซีรีส์สลับเครื่องหมายที่ผ่านการทดสอบซีรีส์สลับเครื่องหมาย (ลดทอน $b_n\to0$) เท่านั้น ซึ่ง ไม่ได้ ใช้กับซีรีส์ที่มีพจน์เป็นบวก ความผิดพลาดถูกจำกัดด้วย พจน์แรกที่ถูกตัดออก $b_{n+1}$ ไม่ใช่พจน์สุดท้ายที่รวมอยู่ ให้ใช้ $b_{n+1}$ ซึ่งเป็นขนาดของพจน์ที่คุณ ไม่ได้ นำมาบวก
ประมาณค่า $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ ด้วย $3$ พจน์แรก; ขอบเขตความผิดพลาด
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- พจน์แรกที่ถูกตัดออก: $b_4=\tfrac14$. ดังนั้น $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$
- ผลรวมจริง $\ln 2\approx0.693$ อยู่ภายใน $0.25$ ของ $0.833$ จริง ✓
ขอบเขตความผิดพลาดของซีรีส์สลับเครื่องหมาย: สำหรับซีรีส์สลับเครื่องหมายที่ลู่เข้า ความผิดพลาดของผลบวกย่อยลำดับที่ $n$ มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ พจน์แรกที่ถูกตัดออก คือ $|S-S_n|\le b_{n+1}$ ใช้ได้เฉพาะกับซีรีส์สลับเครื่องหมายที่ผ่านเงื่อนไขการทดสอบ และช่วยให้คุณสามารถเลือกจำนวนพจน์ที่จะรับประกันความแม่นยำตามเป้าหมายได้