การหาค่าประมาณด้วยพหุนามเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | พหุนามเทย์เลอร์ |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | พหุนามแมคลอเรน |
การประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุนาม
- การเชิงเส้น化 (หน่วยที่ 4) ใช้ เส้นสัมผัส ในการประมาณค่าฟังก์ชัน ทำไมต้องหยุดอยู่ที่เส้นตรง?
- พหุนามเทย์เลอร์ จะจับคู่ทั้งค่าของฟังก์ชัน และอนุพันธ์หลายระดับที่จุดหนึ่ง
- ยิ่งจับคู่อนุพันธ์ได้มากเท่าไร ก็ยิ่งโอบกอดเส้นโค้งได้ดีขึ้นในพื้นที่ใกล้ๆ
- พหุนามคำนวณได้ง่าย จึงเป็นตัวแทนที่มีประสิทธิภาพแทนฟังก์ชันที่ซับซ้อน
การสร้างพหุนาม
- ตั้งศูนย์กลางที่ $x=a$ พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี $n$ คือ:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- แต่ละพจน์ใช้ อนุพันธ์ ลำดับที่ $k$ ที่ $a$ หารด้วย $k!$ คูณด้วย $(x-a)^k$
- ส่วนดีกรี $1$ คือการเชิงเส้น化พอดี ส่วนที่สูงกว่าเพิ่มความโค้ง
พจน์ที่ $k$ ของพหุนามเทย์เลอร์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $a$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ที่ $a$, หารด้วย $k!$, คูณด้วย $(x-a)^k$
อนุพันธ์ทุกตัวในพหุนามเทย์เลอร์จะถูกแทนค่าที่ ____ $a$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ใช้ $f^{(k)}(a)$ แทนที่จะใช้ $f^{(k)}(x)$
แมคลาวริน: ตั้งศูนย์กลางที่ศูนย์
- พหุนามแมคลาวริน ก็คือพหุนามเทย์เลอร์ที่ตั้งศูนย์กลางที่ $a=0$
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — $(x-a)$ ตัวคูณกลายเป็น $x^k$ ธรรมดาๆ
- แบบมาตรฐานควรจดจำ: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ มีพหุนามแมคลาวรินที่เรียบง่าย
- สูตรเดียวกัน โดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด
พหุนามมาคลาวรินคือ พหุนามเทย์เลอร์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มาคลาวริน = มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $0$
ใกล้เคียงกับจุดศูนย์กลางมากขึ้น
- การประมาณค่าจะ ดีที่สุดใกล้ $x=a$ และแย่ลงเมื่อเราเคลื่อนที่ออกไป
- การเพิ่มพจน์มากขึ้น (ดีกรีสูงขึ้น) ช่วยปรับปรุงความแม่นยำในช่วงกว้างขึ้น
- จับคู่ค่า ความชัน ความเว้า และอื่นๆ — อนุพันธ์แต่ละตัวกำหนดลักษณะเพิ่มเติมหนึ่งอย่าง
- เส้นสัมผัสคือเพียงสองพจน์แรกของแนวคิดที่ใหญ่กว่านี้
พหุนามที่โอบล้อม eˣ
y = a·e^{bx}
พอลิโนเมียลมาคลาurin ระดับ 2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ โอบล้อม $e^x$ ใกล้ $0$ — เพิ่มจำนวนพจน์จะขยายช่วงที่ดีให้กว้างขึ้น
พหุนามมาคลาวรินดีกรี-2 สำหรับ $e^x$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ทั้งหมดของ $e^x$ ที่ $0$ มีค่าเท่ากับ $1$
พจน์เทย์เลอร์นำ $k$ อนุพันธ์มาหารด้วย $k!$ (เป็นจำนวน factorial)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หารด้วย $k!$ ไม่ใช่ $k$
การประมาณค่าด้วยพหุนามเทย์เลอร์จะแม่นยำที่สุด...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความแม่นยำดีที่สุดเมื่ออยู่ใกล้ $a$ และดีขึ้นเมื่อมีพจน์มากขึ้น
อย่าลืม ตัวคูณ阶乘: พจน์ที่ $k$ คือ $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — หารด้วย $k!$ ไม่ใช่แค่ $k$ คำนวณทุกอนุพันธ์ ที่จุดศูนย์กลาง $a$ (ไม่ใช่ที่ $x$) และการประมาณค่าจะดีก็ต่อเมื่ออยู่ ใกล้ $a$ เท่านั้น หากห่างออกไป พหุนามเทย์เลอร์ที่ตัดทอนอาจคลาดเคลื่อนอย่างมาก
หาพหุนามแมคลาวลินดีกรี $2$ สำหรับ $f(x)=e^x$
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (เนื่องจากอนุพันธ์ทั้งหมดของ $e^x$ คือ $e^x$)
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- ใกล้ $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (เช่น $e^{0.1}\approx1.105$) ✓
พหุนามเทย์เลอร์ ตั้งศูนย์กลางที่ $a$ คือ $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — จับคู่ค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่ $a$ พหุนามแมคลาวริน เป็นกรณีพิเศษ $a=0$ รักษา ตัวคูณ阶乘 ไว้ คำนวณอนุพันธ์ ที่ $a$ และคาดหวังความแม่นยำสูงสุด ใกล้จุดศูนย์กลาง