การหาพื้นที่ของบริเวณขั้วหรือพื้นที่ที่จำกัดด้วยเส้นโค้งขั้วเดียว
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | พื้นที่ |
| sectors/ˈsektəz/ | sektor (ส่วนรูปวงกลม) |
พื้นที่ที่เส้นโค้งขั้วกวาดไป
- สำหรับ $y=f(x)$ เราแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวตั้ง เส้นโค้งขั้วกวาดรอบจุดกำเนิดแทน
- ดังนั้นเราแบ่งพื้นที่ออกเป็น sektor形บางๆ sector, แต่ละอันเป็นชิ้นส่วนเล็กของวงกลม
- การรวมพื้นที่ของ sector เหล่านี้จะได้ พื้นที่ ที่เส้นโค้งขั้วล้อมรอบ
- ผลลัพธ์ที่ได้คืออินทิกรัลที่สะอาดตาใน $\theta$
สูตรพื้นที่แบบขั้ว
- ส่วนวงกลมบางที่มุม $\theta$ มีรัศมี $r=f(\theta)$ และมุมเล็ก $d\theta$; พื้นที่ของส่วนนี้คือ $\tfrac12 r^2\,d\theta$。
- บวกกันตั้งแต่ $\theta=\alpha$ ถึง $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- ยกกำลังสองรัศมี หารด้วยสอง แล้วอินทิเกรตตามช่วงมุม
พื้นที่ที่ปิดล้อมโดย $r=f(\theta)$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ครึ่งหนึ่งของอินทิกรัลของ $r^2$
เหตุผลที่มี $\tfrac12 r^2$
- พื้นที่ของส่วนวงกลมเต็มที่มีรัศมี $r$ และมุม $\Delta\theta$ คือ $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$。
- ชิ้นส่วนบางๆ ของเรารับรองว่าตรงกับส่วนวงกลมเหล่านี้ที่มี $\Delta\theta\to d\theta$
- การรวมมันเข้าด้วยกัน (อินทิเกรต) จะสะสมพื้นที่ที่ถูกกวาดผ่าน
- มันคือสมการเทียบเท่าในแบบขั้วของ "รวมสี่เหลี่ยมผืนผ้าบาง" โดยใช้ชิ้นส่วนรูปพัดแทน
sektor บางๆ ปัดกวาดพื้นที่
บริเวณขั้วถูกคำนวณจากการรวม sector berbentukชิ้นพิซซ่าบางๆ แต่ละอันมีพื้นที่ $\tfrac12 r^2\,d\theta$
สูตรพื้นที่เชิงขั้วรวมพื้นที่ของ ____ วงกลมบางๆ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละส่วนวงกลมมีพื้นที่ $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
การเลือกขอบเขตของมุม
- ขอบเขต $\alpha,\beta$ คือ มุม ที่เส้นโค้งกวาดพื้นที่หนึ่งรอบ
- สำหรับลูปเดียวของเส้นโค้งเรียบง่าย มักจะเป็น $0$ ถึง $2\pi$ — แต่หลายเส้นโค้งปิดตัวได้เร็วกว่านั้น
- กลีบหนึ่งของดอกกุหลาบ $r=\cos(3\theta)$ กวาดระหว่างจุดศูนย์ต่อเนื่องกันของ $r$
- เลือกขอบเขตที่ลากพื้นที่ พอดีหนึ่งครั้ง (ไม่นับซ้ำ)
หาพื้นที่ที่ $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (ในรูปของ $\pi$, ให้กรอกตัวเลข).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
สูตรพื้นที่ขั้วรวมตัวคูณ $\tfrac12$ และยกกำลังสอง $r$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
ขอบเขตมุม $\alpha,\beta$ ควรเลือกให้เส้นโค้งวาดพื้นที่...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การวาดซ้ำมากกว่าหนึ่งครั้งจะนับพื้นที่ซ้ำ.
สูตรเชิงขั้วให้ $4\pi$ สำหรับ $r=2$ ซึ่งตรงกับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi(2)^2=4\pi$ — ทั้งสองสอดคล้องกัน.
สูตรคือ $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — อย่าลืม $\tfrac12$ หรือ กำลังสอง บน $r$. และเลือก $\alpha,\beta$ เพื่อให้เส้นโค้งวาดพื้นที่ พอดีหนึ่งครั้ง: การเกินช่วงมุมจะทำให้นับพื้นที่ซ้ำ (กลีบดอกกุหลาบหนึ่งกลีบ为例, ต้องใช้นิยามมุมระหว่างค่า $r=0$ ที่ติดกันสองค่า, ไม่ใช่จาก $0$ ถึง $2\pi$)
หาพื้นที่ที่ล้อมรอบโดย $r=2$ (วงกลมรัศมี $2$)
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- ซึ่งตรงกับพื้นที่วงกลมที่คุ้นเคย $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$ ✓
พื้นที่ ที่ล้อมรอบโดยเส้นโค้งแบบขั้ว $r=f(\theta)$ คือ $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — โดยการรวมชิ้นส่วน ส่วนวงกลมบาง $\frac12 r^2\,d\theta$ รักษา $\frac12$ และการ ยกกำลังสอง และเลือกขอบเขตมุมเพื่อให้พื้นที่ถูกลากพอดีหนึ่งครั้ง