การนิยามพิกัดขั้วและการหาอนุพันธ์ในรูปขั้ว
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | พิกัดคาร์ทีเซียน |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | พิกัดขั้ว |
การระบุตำแหน่งจุดด้วยมุมและระยะ
- พิกัดคาร์ทีเซียนใช้ "ขวา $x$, ขึ้น $y$." พิกัดขั้ว ใช้ "มุม และ ระยะ
- จุดหนึ่งคือ $(r,\theta)$: $r$ คือระยะห่างจากจุดกำเนิด, $\theta$ คือมุมจากแกน $x$ บวก
- วงกลมและสไปรอลที่ดูยุ่งยากใน $x,y$ จะกลายเป็นเรียบง่ายในรูปแบบขั้ว
- เส้นโค้งเขียนในรูป $r=f(\theta)$ — รัศมีเป็นฟังก์ชันของมุม
การแปลงพิกัดขั้ว ⇄ คาร์ทีเซียน
- ขั้วสู่ คาร์ทีเซียน: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$
- คาร์ทีเซียนสู่ขั้ว: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ และ $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$
- สิ่งเหล่านี้มาจากตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมมุมฉากที่จุดนั้นโดยตรง
- เปลี่ยน whichever way ทำให้ปัญหาง่ายที่สุด
ไซน์และโคไซน์สร้างพิกัดขั้ว
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — พิกัดขั้วสร้างขึ้นจากฟังก์ชันตรีโกณมิติสองนี้ของมุม
การแปลงจากพิกัดขั้วเป็นพิกัดเดCartesian คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
ในการแปลงจากพิกัดデCartesian เป็นพิกัดขั้ว, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
เส้นโค้งขั้วซ่อนอยู่ในรูปแบบพารามิترิก
- จัดการกับ $r=f(\theta)$ sebagai เส้นโค้งพารามิترิก โดยให้ $\theta$ เป็นพารามิเตอร์:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ และ $y=f(\theta)\sin\theta$
- ตอนนี้เครื่องจักรทั้งหมดของพารามิเตอร์ใช้ได้ — รวมถึงความชัน $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$
- ดังนั้น "การหาอนุพันธ์ในรูปแบบขั้ว" ก็คือการหาอนุพันธ์แบบพารามิเตอร์ด้วย $x,y$ เหล่านี้
แปลง $(2,\tfrac{\pi}{3})$: หาค่าพิกัด $x$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
เส้นโค้งขั้ว $r=f(\theta)$ สามารถพิจารณาเป็นเส้นโค้งพารามิเตอร์ที่มีพารามิเตอร์เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ ด้วยพารามิเตอร์ $\theta$
การหาความชัน $\tfrac{dy}{dx}$
- คำนวณ $\tfrac{dx}{d\theta}$ และ $\tfrac{dy}{d\theta}$ จากกฎผลคูณ/กฎลูกโซ่บน $f(\theta)\cos\theta$ และ $f(\theta)\sin\theta$
- แล้ว $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — ความชันแบบพารามิเตอร์ทั่วไป
- คำเตือน: $\tfrac{dy}{dx}$ ไม่ใช่ $\tfrac{dr}{d\theta}$; ความชันต้องการอนุพันธ์ของ $x,y$ ครบถ้วน
- พารามิเตอร์คือ $\theta$, ดังนั้นหาอนุพันธ์นิพจน์ $x,y$ เทียบกับ $\theta$
ความชัน $\tfrac{dy}{dx}$ ของเส้นโค้งขั้วมีค่าเท่ากับ $\tfrac{dr}{d\theta}$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความชันคือ $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, ใช้ $x,y$ อนุพันธ์
พิกัดขั้ว $(r,\theta)$ และ $(r,\theta+2\pi)$ อธิบายจุดเดียวกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเพิ่มรอบเต็มจะกลับสู่จุดเดิม
ความชันของเส้นโค้งขั้วคือ $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, ไม่ใช่ $\dfrac{dr}{d\theta}$. คุณต้องแปลงไปเป็น $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ ก่อนแล้วหาอนุพันธ์สิ่งเหล่านั้น (กฎผลคูณ!) เทียบกับ $\theta$. และพิกัดขั้วของจุดหนึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์ — $(r,\theta)$ และ $(r,\theta+2\pi)$ คือจุดเดียวกัน
แปลงจุดขั้ว $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ ไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- ดังนั้นจุดนั้นคือ $\big(1,\sqrt3\big)$
พิกัดขั้ว $(r,\theta)$ ให้จุดหนึ่งโดย ระยะและมุม. แปลงด้วย $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (และกลับคืนผ่าน $r=\sqrt{x^2+y^2}$). เส้นโค้งขั้ว $r=f(\theta)$ เป็น เส้นโค้งพารามิเตอร์ ใน $\theta$, ดังนั้นความชันของมันคือ $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — ไม่ใช่ $\frac{dr}{d\theta}$