การแก้ปัญหาการเคลื่อนที่โดยใช้สมการพารามิเตอร์และฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
แนะนำใหม่การเคลื่อนที่แบบระนาบเต็มรูปแบบ, เริ่มจนจบ
- รวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน: อนุภาคที่เคลื่อนที่ในระนาบ ซึ่งอธิบายได้ด้วย $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$
- หาอนุพันธ์เพื่อได้ ความเร็ว และ ความเร่ง; ทำอินทิเกรตเพื่อกลับด้าน
- คำนวณ อัตราเร็ว และ ระยะทางที่เคลื่อนที่ จากองค์ประกอบของความเร็ว
- บทเรียนนี้เป็นชุดเครื่องมือสำหรับปัญหาการเคลื่อนที่แบบระนาบระดับ BC ทุกข้อ
ตำแหน่ง, ความเร็ว, ความเร่ง
- ตำแหน่ง: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$
- ความเร็ว: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — ทิศทางการเคลื่อนที่, สัมผัสกับเส้นโค้ง
- ความเร่ง: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$
- เคลื่อนขึ้นตามลำดับด้วยการหาอนุพันธ์, เคลื่อนลงด้วยการอินทิเกรตพร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น
เวกเตอร์ความเร็วสัมผัสกับเส้นทาง; ขนาดของมันคือ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความเร็ว = ขนาดของความเร็วเชิงเวกเตอร์
อัตราเร็วและระยะทางที่เคลื่อนที่
- อัตราเร็ว ที่เวลา $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — เป็นสเกลาร์
- ระยะทางที่เคลื่อนที่ ในช่วง $[a,b]$: อินทิเกรตอัตราเร็ว, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$
- นั่นคืออินทิกรัลความยาวส่วนโค้งเดียวกัน — ความยาวเส้นทางรวม, ค่า nooit เป็นลบ
- อัตราเร็วตอบคำถามว่า "เร็วแค่ไหนตอนนี้"; อินทิกรัลตอบคำถามว่า "รวมแล้วไกลเท่าไหร่"
องค์ประกอบความเร็วตามเวลา
y = bx
ความเร็วรวมองค์ประกอบความเร็วเข้าด้วยกัน; การอินทิเกรลความเร็วตามเวลาจะได้ระยะทางทั้งหมดที่อนุภาคเคลื่อนที่
สำหรับ $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$ หาค่าความเร็วที่ $t=2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
ระยะทางที่เคลื่อนที่ในช่วง $[a,b]$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อินทิเกรลความเร็ว (ขนาดของความเร็วเชิงเวกเตอร์)
ตำแหน่งที่เวลาถัดไป
- เพื่อหาว่าอนุภาคอยู่ที่ไหน ที่ เวลา $b$: เริ่มต้นจากตำแหน่งที่ทราบอยู่ แล้วบวกกับการเปลี่ยนแปลงสะสม
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, และเหมือนกันสำหรับ $y$ — แยกตามแต่ละองค์ประกอบ
- นี่คือ "ค่าสุดท้าย = ค่าเริ่มต้น + การเปลี่ยนแปลงสะสม", ทำแยกตามพิกัด
- รวมผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกันเพื่อได้เวกเตอร์ตำแหน่งที่เวลา $b$
ข้อใดต่อไปนี้เป็น เวกเตอร์ (ไม่ใช่สเกลาร์)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความเร็วเชิงเวกเตอร์และความเร่งเป็นเวกเตอร์; ความเร็วและระยะทางเป็นสเกลาร์
ตำแหน่ง $x$ ที่เวลา $b$ คือ $x(a)$ บวกด้วย...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สุดท้าย = เริ่มต้น + การเปลี่ยนแปลงสะสมของ $x$
ระยะทางที่เคลื่อนที่เท่ากับขนาดของเวกเตอร์การกระจัด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ระยะทางคือ $\int|\mathbf{v}|\,dt$; ขนาดของการกระจัดอาจน้อยกว่า
รักษาความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์และสเกลาร์ให้ชัด: ความเร็ว และ ความเร่ง เป็นเวกเตอร์ (ทิศทาง + ขนาด); อัตราเร็ว และ ระยะทาง เป็นสเกลาร์. ระยะทางที่เคลื่อนที่คือ $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (อินทิกรัลของอัตราเร็ว), ไม่ใช่ การกระจัด $\int \mathbf{v}\,dt$ หรือ $|\int\mathbf{v}\,dt|$. และหาตำแหน่งที่เวลาถัดไปโดยการบวกอินทิกรัลของแต่ละองค์ประกอบเข้ากับตำแหน่งเริ่มต้น
อนุภาคมี $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. หาอัตราเร็วที่ $t=2$ และตั้งสมการระยะทางที่เดินทางบน $[0,2]$
- อัตราเร็วที่ $t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
- ระยะทางบน $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (คำนวณเป็นตัวเลข)
สำหรับการเคลื่อนที่แบบระนาบ $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: ความเร็ว $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, ความเร่ง $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (เป็นเวกเตอร์); อัตราเร็ว $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ และ ระยะทางที่เคลื่อนที่ $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (เป็นสเกลาร์). หาตำแหน่งที่เวลาถัดไปโดยการบวกอินทิกรัลของแต่ละองค์ประกอบของ $x',y'$ เข้ากับตำแหน่งเริ่มต้น