การอินทิเกรลฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
แนะนำใหม่อินทิเกรตเวกเตอร์, องค์ประกอบละหนึ่ง
- การหาอนุพันธ์เวกเตอร์เป็นการตามองค์ประกอบ การอินทิเกรต หนึ่งก็เหมือนเป๊ะ
- อินทิเกรตแต่ละ องค์ประกอบ แยกกัน, และรวมผลลัพธ์กลับเข้าไปในเวกเตอร์
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถย้อนกลับการเคลื่อนที่*: จากความเร่งสู่ความเร็ว, ความเร็วสู่ตำแหน่ง
ในการอินทิเกรล $\langle f(t),g(t)\rangle$ คุณ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อินทิเกรลแยกตามองค์ประกอบ บวกด้วยเวกเตอร์ค่าคงที่
อนุพันธ์กลับของแต่ละองค์ประกอบ
- แต่ละองค์ประกอบได้รับอนุพันธ์กลับของตัวเอง — และค่าคงที่ของตัวเอง
- ค่าคงที่เหล่านี้รวมกันเป็น เวกเตอร์ค่าคงที่ $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$
- ดังนั้น อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเวกเตอร์ก็เป็นเวกเตอร์เอง (บวก $\mathbf{C}$)
- ไม่มีอะไรใหม่ให้เรียนรู้ — เพียงแค่นำการอินทิเกรตตัวแปรเดียวมาใช้อย่างซ้ำซ้อน
การอินทิเกรลฟังก์ชันเวกเตอร์จะเพิ่มเวกเตอร์ค่าคงที่ $\mathbf{C}$ เข้ามา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าคงที่หนึ่งต่อแต่ละองค์ประกอบ รวมอยู่ใน $\mathbf{C}$
แต่ละองค์ประกอบของอินทิกรัลจะมีค่าคงที่การอินทิเกรลของตัวเอง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พวกมันรวมกันเป็นเวกเตอร์ค่าคงที่ $\mathbf{C}$
ความเร็วจากความเร่ง
- เมื่อให้เวกเตอร์ความเร่ง $\mathbf{a}(t)$, อินทิเกรตเพื่อคืน ความเร็ว:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$, โดยที่เวกเตอร์คงที่ถูกกำหนดโดย ความเร็วเริ่มต้น $\mathbf{v}(t_0)$
- ทำอินทิเกรตอีกครั้งเพื่อหาตำแหน่ง โดยใช้ตำแหน่งเริ่มต้น
- นี่คือรูปแบบเวกเตอร์ของ "ตำแหน่ง ← ความเร็ว ← ความเร่ง" ผ่านการอินทิเกรต
อินทิเกรลความเร่งเพื่อได้ความเร็ว
y = ax² + bx
การอินทิเกรลแต่ละองค์ประกอบของความเร่ง (บวกด้วยค่าคงที่) จะคืนค่าความเร็ว — เงื่อนไขเริ่มต้นจะกำหนดค่าคงที่เหล่านั้น
การอินทิเกรลเวกเตอร์ความเร่งจะคืนค่า...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความเร่งอินทิเกรลได้ความเร็ว
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า $\mathbf{C}$
- การอินทิเกรตแต่ละครั้งจะเพิ่มเวกเตอร์คงที่ที่คุณต้องหาค่าให้ชัดเจน
- แทนค่าเวกเตอร์เริ่มต้นที่กำหนดให้ (ความเร็วหรือตำแหน่ง ณ เวลาหนึ่ง) แล้วแก้สมการเพื่อหาค่า $\mathbf{C}$
- ทำดังนี้ ทีละองค์ประกอบ: เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดทั้ง $C_1$ และ $C_2$
- จากนั้นเขียนฟังก์ชันเวกเตอร์ที่ระบุค่าได้ครบถ้วน
หาก $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ และ $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$, แล้ว $\mathbf{v}(t)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อินทิเกรลแล้วใช้ $\mathbf{v}(0)$: $C_1=1,C_2=0$
เพื่อกำหนดเวกเตอร์ค่าคงที่ ให้ใช้เงื่อนไข ____ ที่กำหนดให้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แทนค่าความเร็วหรือตำแหน่งเริ่มต้น
อินทิเกรต แต่ละองค์ประกอบแยกต่างหาก, และอย่าลืมเพิ่ม เวกเตอร์คงที่ $\mathbf{C}$ — ค่าคงที่ของการอินทิเกรตสำหรับ แต่ละ องค์ประกอบ ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (ความเร็วหรือตำแหน่งที่เวลาหนึ่ง) เพื่อหาค่า $\mathbf{C}$ ทีละองค์ประกอบก่อนรายงานคำตอบ
ถ้ามี $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$ และ $\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$, จงหาค่า $\mathbf{v}(t)$
- ทำอินทิเกรต: $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$
- ใช้ $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$: $C_1=1$, $C_2=0$
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
อินทิเกรตฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ แยกตามองค์ประกอบ: $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$, บวกด้วย เวกเตอร์คงที่ $\mathbf{C}$. อินทิเกรตความเร่งเพื่อหาความเร็ว (และอินทิเกรตอีกครั้งเพื่อหาตำแหน่ง) โดยใช้ เงื่อนไขเริ่มต้น เพื่อแก้หาค่า $\mathbf{C}$ ในแต่ละองค์ประกอบ