การนิยามและการหาอนุพันธ์ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ |
ห่อหุ้มการเคลื่อนที่ให้เป็นลูกศรเดียว
- เส้นโค้งพารามิเตอร์ให้ $x(t)$ และ $y(t)$ แยกกัน ห่อหุ้ม它们在เข้าเป็นวัตถุเดียว: ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ คือ เวกเตอร์ตำแหน่ง — ลูกศรจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่เคลื่อนที่
- มันอธิบายการเคลื่อนที่บนระนาบได้อย่างกระชับ โดยติดตามพิกัดทั้งสองพร้อมกัน
- ทุกอย่างจากเส้นโค้งพารามิเตอร์ปรากฏที่นี่อีกครั้ง, ในรูปแบบเวกเตอร์
เส้นทางที่ r(t) วาดขึ้น
y = ax² + bx
เวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf{r}(t)$ ชี้ไปยังอนุภาคที่เคลื่อนที่; อนุพันธ์ของมัน (แยกตามองค์ประกอบ) คือเวกเตอร์ความเร็ว
หาอนุพันธ์แต่ละองค์ประกอบ
- ในการหาอนุพันธ์ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ เพียงแค่หาอนุพันธ์ แต่ละองค์ประกอบ แยกกัน:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- ไม่มีกฎใหม่ — อนุพันธ์ของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของอนุพันธ์
- $\mathbf{r}'(t)$ คือ เวกเตอร์ความเร็ว, ชี้ไปในทิศทางการเคลื่อนที่
ในการหาอนุพันธ์ $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ คุณ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
เวกเตอร์ความเร็วและความเร่ง
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — เวกเตอร์ความเร็ว
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — เวกเตอร์ความเร่ง
- หาได้โดยการหาอนุพันธ์ขององค์ประกอบอีกครั้ง
- เวกเตอร์ความเร็วสัมผัสกับเส้นโค้ง; ความยาวของมันคือความเร็ว
สำหรับ $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, เวกเตอร์ความเร็ว $\mathbf{v}(t)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์แต่ละองค์ประกอบ
เวกเตอร์ความเร่งคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์ตำแหน่งสองครั้ง: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$
ความเร็วคือขนาดของเวกเตอร์ความเร็ว
- ความเร็ว ไม่ใช่ เวกเตอร์ — แต่มันคือ ขนาด $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$
- นั่นคือฟังก์ชันภายในอินทิกรัลความเร็วเดียวกันกับความยาวส่วนโค้งแบบพารามิเตอร์
- ดังนั้น เวกเตอร์ความเร็วจึงมีทั้งทิศทาง และ ขนาด; ความเร็วเป็นเพียงขนาดเท่านั้น
- หาอนุพันธ์เพื่อเปลี่ยนจากตำแหน่ง → ความเร็ว → ความเร่ง, ตามแต่ละองค์ประกอบ
สำหรับ $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, หาความเร็ว $|\mathbf{v}(0)|$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
ความเร็วเป็นเวกเตอร์ เหมือนกับความเร็วเชิงเวกเตอร์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความเร็วคือขนาดสเกลาร์ $|\mathbf{v}|$
ความเร็วเท่ากับ ____ ของเวกเตอร์ความเร็ว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
หาอนุพันธ์ของเวกเตอร์ ทีละองค์ประกอบ — อย่าพยายามหาอนุพันธ์ "เวกเตอร์ทั้งหมด" เป็นนิพจน์ที่ยุ่งเหยิงเดียว และให้แยก ความเร็ว (เป็นเวกเตอร์) ออกจาก อัตราเร็ว (เป็นขนาดของเวกเตอร์, สเกลาร์): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, อย่าใช้แค่ $x'+y'$
สำหรับ $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, หา $\mathbf{v}(t)$ และความเร็วที่ $t=0$
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- ที่ $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- ความเร็ว $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$
ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ อธิบายการเคลื่อนที่บนระนาบ. หาอนุพันธ์มัน ตามแต่ละองค์ประกอบ: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (ความเร็ว), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (ความเร่ง). ความเร็ว คือขนาด $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — สเกลาร์, แยกต่างหากจากเวกเตอร์ความเร็ว