การหาความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการพารามิเตอร์

คำศัพท์

English	ความหมาย
arc length/ɑːk leŋθ/	ความยาวส่วนโค้ง
speed/spiːd/	อัตราเร็ว

ระยะทางที่จุดพารามิเตอร์เคลื่อนที่ไป

จุดพารามิเตอร์ $\big(x(t),y(t)\big)$ เคลื่อนที่ผ่านระนาบ เส้นโค้งที่มันวาดมีความยาวเท่าใด?
นั่นคือ ความยาวส่วนโค้ง ของเส้นโค้งพารามิเตอร์ จาก $t=a$ ถึง $t=b$
แต่ละช่วงเวลาเล็กๆ ทำให้จุดเคลื่อนที่ $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ ข้างและ $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ ขึ้น
บวกผลรวมของด้านตรงข้ามมุมฉากเล็กๆ เหล่านี้เพื่อหาความยาวทั้งหมด

สูตร

ความยาวก้าวเล็กๆ คือ $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$
อินทิเกรตในช่วงเวลา:
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
อนุพันธ์ของแต่ละองค์ประกอบถูกยกกำลังสอง บวกกัน取รากและอินทิเกรตใน $t$

ฝึกฝน

ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งพารามิเตอร์คือ $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ โดยที่ตัวประกอบภายในอินทิกรัลคือ...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$\sqrt{1+(dy/dx)^2}$
$\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$
$(dx/dt)+(dy/dt)$
$\sqrt{(dx/dt)^2-(dy/dt)^2}$

ฝึกฝน

สำหรับ $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$4t^2+9t^4$
$2t+3t^2$
$4t^2-9t^4$
$t^2$

ฟังก์ชันภายในอินทิกรัลคือความเร็ว

$\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ คือ ความเร็ว ของจุดเคลื่อนที่พอดี
ความเร็วคือระยะทางต่อหน่วยเวลา; การอินทิเกรตความเร็วตามเวลาจะได้ระยะทางทั้งหมด
ดังนั้น ความยาวส่วนโค้ง = อินทิกรัลของความเร็ว — รูปแบบพารามิเตอร์ของ "ระยะทาง = ∫ ความเร็ว dt"
สิ่งนี้เชื่อมโยงโดยตรงกับโจทย์การเคลื่อนที่ (บทเรียน 9.6)

สำรวจ

ความยาวคืออินทิกรัลของความเร็ว

y = ax^{1.5}

ตัวประกอบภายในอินทิกรัลของความยาวส่วนโค้งแบบพารามิเตอร์คือความเร็วของจุด — การอินทิเกรลความเร็วตามเวลาจะได้ระยะทางที่เคลื่อนที่

ฝึกฝน

ตัวประกอบภายในอินทิกรัลของความยาวส่วนโค้งแบบพารามิเตอร์มีค่าเท่ากับ ____ ของจุด

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

ความยาวส่วนโค้งแบบพารามิเตอร์เป็นอินทิกรัลเดียวกันที่ใช้สำหรับอนุภาค...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

การกระจัด
ระยะทางที่เคลื่อนที่
ความเร่ง
ค่าเฉลี่ย

การตั้งค่าในการปฏิบัติจริง

คำนวณ $\tfrac{dx}{dt}$ และ $\tfrac{dy}{dt}$, ยกกำลังสองแล้วบวกกัน, เปิดราก
อินทิเกรตจาก $t$ เริ่มต้นถึง $t$ ลงท้าย (ช่วง $t$, ไม่ใช่ $x$ หรือ $y$)
อินทิกรัลเหล่านี้หลายตัวต้องใช้เครื่องคิดเลข; การตั้งค่าคือทักษะที่จะถูกประเมินคะแนน
เก็บอนุพันธ์ทั้งสองไว้; การทิ้งหนึ่งตัวจะทำให้เสียการเคลื่อนที่แนวทแยง

ฝึกฝน

ขอบเขตของการอินทิเกรลสำหรับความยาวส่วนโค้งแบบพารามิเตอร์คือค่า $t$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

คุณสามารถทิ้ง $\tfrac{dy}{dt}$ ได้หาก $\tfrac{dx}{dt}$ มีค่าน้อยกว่า

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

Watch out

ข้อจำกัดคือ ค่า $t$ (ช่วงเวลาเวลา), และ ทั้งสอง $\tfrac{dx}{dt}$ และ $\tfrac{dy}{dt}$ ปรากฏอยู่ภายใต้รากที่สอง ยกกำลังสอง อย่าใช้ ค่า $x$-จำกัด, และอย่าลืมหาอนุพันธ์อย่างใดอย่างหนึ่ง นี่คือ "อินทิกรัลความเร็ว" เดียวกันกับการเดินทางระยะทาง — ไม่ใช่ปริมาณที่มีเครื่องหมาย ดังนั้นไม่จำเป็นต้องใช้ค่าสัมบูรณ์ (รากที่สองเป็น $\ge0$ อยู่แล้ว)

Example

หาความยาวของ $x=t^2,\ y=t^3$ สำหรับ $0\le t\le 1$

$\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; ผลรวมของกำลังสอง $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$
$L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
แทนค่า $u$ ด้วย $u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$

Key idea

ความยาวส่วนโค้ง ของเส้นโค้งพารามิเตอร์คือ $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ บน ช่วง$t$. ฟังก์ชันภายในอินทิกรัลคือ ความเร็ว ของจุด, ดังนั้นนี่จึงเป็นอินทิกรัลของความเร็ว = ระยะทางที่เดินทาง. ยกกำลังสองอนุพันธ์ของแต่ละองค์ประกอบภายใต้รากเดียว