อนุพันธ์อันดับสองของสมการพารามิเตอร์
แนะนำใหม่อนุพันธ์อันดับสองของเส้นโค้งพารามิเตอร์
- เราได้ $\tfrac{dy}{dx}$ สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ ตอนนี้: มันโค้งแค่ไหน? นั่นต้องการ $\tfrac{d^2y}{dx^2}$
- ข้อควรระวัง: คุณ ไม่สามารถ หารอนุพันธ์อันดับสองใน $t$ ได้โดยตรง
- แทนที่จะหาอนุพันธ์ อันดับหนึ่ง ของความชัน $\tfrac{dy}{dx}$ เทียบกับ $t$, แล้วหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$ อีกครั้ง
- นี่คือกฎความชันพารามิเตอร์, ใช้ครั้งที่สองกับ $\tfrac{dy}{dx}$
สูตรที่ถูกต้อง
- จัดการ $\tfrac{dy}{dx}$ อนุพันธ์อันดับแรก jako ฟังก์ชันใหม่ของ $t$, และหาความชันพารามิเตอร์ของมัน:
-
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
- หาอนุพันธ์ $\tfrac{dy}{dx}$ เทียบกับ $t$, แล้วหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$ (ส่วนเหมือนเดิม与前相同)
- สัญญาณของความโค้ง came จากสิ่งนี้, เหมือนกับ $f''$ ปกติ
ความโค้งเว้าของเส้นโค้งพารามิเตอร์
y = ax³ + bx
อนุพันธ์อันดับสองแบบพารามิเตอร์บอกความโค้งเว้า — คำนวณโดยการหาอนุพันธ์ $\tfrac{dy}{dx}$ ใน $t$ แล้วหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$
อนุพันธ์อันดับสองแบบพารามิเตอร์ $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ มีค่าเท่ากับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์ $\tfrac{dy}{dx}$ ใน $t$ แล้วหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$
เรียงลำดับขั้นตอนเพื่อหาอนุพันธ์อันดับสองแบบพารามิเตอร์
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
ความชัน, หาอนุพันธ์ใน $t$, หารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$
ทำไมมันจึงไม่เป็นอัตราส่วนที่ชัดเจน
- มัน ไม่ใช่ $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ — ทางลัดนี้ผิด
- $\tfrac{dy}{dx}$ เป็น อัตราส่วน ของ $t$-derivatives อยู่แล้ว, ดังนั้นการหาอนุพันธ์มันต้องใช้กฎการหาร (ใน $t$), ไม่ใช่อัตราส่วนอนุพันธ์อันดับสองแบบหยาบ
- กระบวนการที่ถูกต้องต้องผ่าน $\tfrac{d}{dt}\big(\tfrac{dy}{dx}\big)$ ก่อนเสมอ
- การข้ามขั้นตอนนี้จะทำให้ได้คำตอบผิดแบบคลาสสิก
อนุพันธ์อันดับสองแบบพารามิเตอร์มีค่าเท่ากับ $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราส่วนแบบง่ายๆ นั้นผิด
ขั้นตอนการทำงานสองขั้นตอน
- 1. หา $\tfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ และจัดรูปให้เรียบง่าย
- 2. หาอนุพันธ์เทียบกับ $t$ แล้วหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$
- นูนขึ้นเมื่อ $\tfrac{d^2y}{dx^2}>0$, นูนลงเมื่อ $<0$ — เหมือนเดิมเสมอ
- ใช้ส่วนร่วม $\tfrac{dx}{dt}$ เดียวกันทั้งสองขั้นตอน
สำหรับ $x=t^2$, $y=t^3$ ($\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dt}(\tfrac{3t}{2})=\tfrac32$; หารด้วย $2t$: $\tfrac{3}{4t}$
หลังจากหาอนุพันธ์ $\tfrac{dy}{dx}$ ใน $t$ แล้ว คุณต้องหารด้วย $\dfrac{dx}{dt}$ ซึ่งเป็น ____ ส่วนตัวส่วนเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสองขั้นตอนหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$
เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองแบบพารามิเตอร์บอกคุณเกี่ยวกับ... ของเส้นโค้ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
บวก → โคนหงาย, ลบ → โคนคว่ำ
อนุพันธ์อันดับสอง ไม่ใช่ $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ คุณต้องหาอนุพันธ์ของ อนุพันธ์อันดับแรก $\tfrac{dy}{dx}$ เทียบกับ $t$ แล้วหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$ อีกครั้ง การใช้อัตราส่วนแบบง่ายของอนุพันธ์อันดับสองเป็นความผิดพลาดพารามิเตอร์ที่พบบ่อยที่สุด
สำหรับ $x=t^2,\ y=t^3$ (ดังนั้น $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), หา $\tfrac{d^2y}{dx^2}$
- $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
- หารด้วย $\dfrac{dx}{dt}=2t$: $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3/2}{2t}=\dfrac{3}{4t}$
- (ไม่ใช่ $\tfrac{6t}{2}=3t$ ซึ่งอัตราส่วนที่ผิดจะให้ได้)
อนุพันธ์อันดับสองแบบพารามิเตอร์คือ $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ — หาอนุพันธ์ของความชันอันดับแรก $\tfrac{dy}{dx}$ ใน $t$ แล้วหารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$ อีกครั้ง มัน ไม่ใช่ $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. สัญญาณของมันบ่งบอกความนูนตามปกติ