การกำหนดและหาอนุพันธ์ของสมการพารามิเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | สมการพารามิเตอร์ |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | พารามิเตอร์ |
เส้นโค้งที่วาดโดยจุดเคลื่อนที่
- แทนที่จะใช้ $y=f(x)$, อธิบายเส้นโค้งโดยการกำหนด $x$ และ $y$ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่สาม
- นี่คือ สมการพารามิเตอร์: $x=f(t)$ และ $y=g(t)$, พร้อม พารามิเตอร์ $t$
- มอง $t$ เป็นเวลา: เมื่อ $t$ ทำงาน, จุด $\big(x(t),y(t)\big)$ วาดเส้นโค้ง
- สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถวาดวงกลมและส่วนขยายแนวตั้งที่ $y=f(x)$ เดียวไม่สามารถทำได้
เส้นโค้งที่พารามิเตอร์ลาก
y = ax³ + bx
สมการพารามิเตอร์ทำให้จุดวาดเส้นโค้ง — วงกลมและการยืดแนวตั้งที่ $y=f(x)$ เดียวไม่สามารถวาดได้
ใน $x=f(t)$, $y=g(t)$ ตัวแปร $t$ เรียกได้ว่า ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พารามิเตอร์ขับเคลื่อนทั้งพิกัดสองค่า
พารามิเตอร์ขับเคลื่อนทั้งสองพิกัด
- ที่แต่ละ $t$, แทนลงในสมการทั้งสองเพื่อได้จุด $\big(x(t),y(t)\big)$
- เส้นโค้งคือเส้นทางที่กวาดออกเมื่อ $t$ เพิ่มขึ้น — พร้อม ทิศทาง ของการเดินทาง
- ตัวอย่าง: $x=\cos t,\ y=\sin t$ วาดวงกลมหน่วยทวนเข็มนาฬิกา
- การกำจัด $t$ (เมื่อเป็นไปได้) ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ และ $y$
สมการพารามิเตอร์ใดที่วาดวงกลมหน่วย?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ วาดวงกลมหน่วย
ความชัน $\tfrac{dy}{dx}$ จากอนุพันธ์ใน $t$
- เพื่อหาความชันของเส้นโค้ง, หาอนุพันธ์ของแต่ละพิกัดใน $t$ แล้วหาร:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- ทั้ง $\tfrac{dy}{dt}$ และ $\tfrac{dx}{dt}$ มาจากสมการทั้งสอง; อัตราส่วนของพวกมันคือความชัน
- (นี่คือกฎลูกโซ่: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, จัดรูปใหม่)
สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์ $\dfrac{dy}{dx}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ส่วนบนหารส่วนล่าง: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$
สำหรับ $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. หาความชันที่ $t=2$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{3(2)}{2}=3$.
Tangent แนวนอนและแนวตั้ง
- Tangent แนวนอน: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (และ $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — ความชันคือ $0$
- Tangent แนวตั้ง: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (และ $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — ความชันไม่ทราบค่า
- พวกมันมาจากอนุพันธ์องค์ประกอบทั้งสองโดยตรง
- ดังนั้น $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ เดียวกันให้ทั้งความชันและกรณีพิเศษของมัน
เส้นโค้งพารามิเตอร์มีสัมผัสแนวนอนเมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แนวนอน ⇔ ความชัน $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$
สัมผัสแนวตั้งเกิดขึ้นที่ $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (และ $\tfrac{dy}{dt}\neq0$)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ศูนย์ $\tfrac{dx}{dt}$ → ความชันไม่จำกัด → แนวตั้ง
ความชันคือ $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — อัตราส่วน ของอนุพันธ์ทั้งสอง, ไม่ใช่ $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ หรือ $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$ และเป็น บนเหนือล่าง: $\tfrac{dy}{dt}$ หารด้วย $\tfrac{dx}{dt}$ สลับตำแหน่งจะทำให้ความชันกลับด้าน
สำหรับ $x=t^2,\ y=t^3$, หา $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ $t=2$
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- ที่ $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
สมการพารามิเตอร์ $x=f(t)$, $y=g(t)$ วาดเส้นโค้งเมื่อ พารามิเตอร์ $t$ เปลี่ยนแปลง ความชันคือ $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (บนเหนือล่าง) Tangent แนวนอนมี $\frac{dy}{dt}=0$; Tangent แนวตั้งมี $\frac{dx}{dt}=0$