ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งเรียบในระนาบและการเดินทาง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Arc length/ɑːk leŋθ/ | ความยาวส่วนโค้ง |
การวัดความยาวของเส้นโค้ง
- พื้นที่และปริมาตรคืออินทิกรัล ดังนั้น ความยาวของเส้นโค้ง ก็เป็นเช่นเดียวกัน
- ความยาวส่วนโค้ง รวบรวมความยาวของชิ้นส่วนตรงเล็กๆ ตามแนวเส้นโค้ง
- ในแต่ละชิ้นเล็ก เส้นโค้งเกือบจะเป็นเส้นตรง —作为小直角三角形的斜边 (hypotenuse of a small right triangle)
- รวม hypotenuses เหล่านี้ (อินทิเกรต) เพื่อความยาวทั้งหมด
จากสามเหลี่ยมเล็กสู่สูตร
- ชิ้นเล็กมีความกว้างแนวนอน $dx$ และความสูงแนวตั้ง $dy=f'(x)\,dx$
- ความยาวของมันคือ $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
- บวกกันตั้งแต่ $a$ ถึง $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
เส้นโค้งยาวกว่าเส้นคอร์ดของมัน
y = a·x^{1.5}
ความยาวส่วนโค้งรวม hypotenuses เล็กน้อย $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — เสมออย่างน้อยเท่าระยะแนวนอน $b-a$
ความยาวส่วนโค้งของ $y=f(x)$ บน $[a,b]$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ยกกำลังสองอนุพันธ์, บวก 1,取根号
การใช้สูตร
- คำนวณ $f'(x)$, ยกกำลังสอง, บวก $1$,取 root, แล้วอินทิเกรตบน $[a,b]$
- อินทิกรันด์เป็น $\ge1$ เสมอ ดังนั้นความยาวส่วนโค้งอย่างน้อยเท่าระยะทางแนวนอน $b-a$ (เส้นโค้งยาวกว่าเส้นตรง)
- อินทิกรัลความยาวส่วนโค้งหลายแบบทำด้วยมือยาก; ในการสอบ BC คุณมักต้องจัดรูปและคำนวณค่าตัวเลข
- ทักษะสำคัญคือการสร้างอินทิกรันด์ที่ถูกต้องจาก $f'$
สำหรับ $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. ตัวถูกอินทิเกรตของความยาวส่วนโค้งคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(f')^2=x$, ดังนั้น $\sqrt{1+x}$.
ประเมิน $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (ทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
เนื่องจากตัว被积分是 $\ge 1$, ความยาวส่วนโค้งจึงอย่างน้อยเท่ากับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นโค้งอย่างน้อยยาวเท่าการวิ่งตรง
ความยาวส่วนโค้งในฐานะระยะทางที่เคลื่อนที่
- หากอนุภาคเคลื่อนที่ตาม $y=f(x)$ ความยาวส่วนโค้งคือ ระยะทางที่มันเคลื่อนที่ ตามเส้นทาง
- (สำหรับการเคลื่อนที่ที่กำหนดโดย $x(t),y(t)$, รูปแบบพารามิเตอร์ปรากฏในบทเรียน 9.3)
- ดังนั้นอินทิกรัลเดียวกันนี้วัดได้ทั้งความยาวทางเรขาคณิตของเส้นโค้งและระยะทางที่เคลื่อนที่ตามเส้นทาง
- การจัดรูปแบบเหมือนกัน; เพียงแต่การตีความเปลี่ยนไป
ตัว被积分的长度使用导数 $f'(x)$, 不是 $f(x)$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือ $\sqrt{1+(f'(x))^2}$
ตามเส้นทาง $y=f(x)$, ความยาวส่วนโค้งยังวัด ____ ที่เดินทาง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความยาวส่วนโค้ง = ระยะทางที่เดินทางตามเส้นทาง
อินทิกรันด์คือ $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — อนุพันธ์ ถูกยกกำลังสอง และมี $\boldsymbol{+1}$ ภายใน root ไม่ใช่ภายนอก อย่าเขียน $\sqrt{1+f(x)^2}$ (ใช้ $f$ แทน $f'$) หรือลืม $+1$ และทั้งหมดอยู่ภายใต้ root เดียวก่อนอินทิเกรต
จัดรูปความยาวส่วนโค้งของ $y=\tfrac23 x^{3/2}$ จาก $x=0$ ถึง $x=3$
- $f'(x)=x^{1/2}$ ดังนั้น $\big(f'(x)\big)^2=x$
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
ความยาวส่วนโค้ง ของ $y=f(x)$ บน $[a,b]$ คือ $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — การรวม hypotenuses เล็ก $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ ยกกำลัง อนุพันธ์, บวก $1$ เข้าไปใน root, อินทิเกรต มันยังให้ ระยะทางที่เคลื่อนที่ ตามเส้นทางด้วย