ปริมาตรด้วยหน้าตัด: สามเหลี่ยมและครึ่งวงกลม
แนะนำใหม่แนวคิดเดียวกัน แต่รูปร่างแผ่นตัดต่างกัน
- สูตรปริมาตร $V=\int_a^b A(x)\,dx$ ใช้ได้กับ ทุก รูปร่างหน้าตัด — คุณแค่ต้องการ $A(x)$
- นอกเหนือจากสี่เหลี่ยม AP ชอบใช้หน้าตัดแบบ สามเหลี่ยม และ ครึ่งวงกลม
- ขั้นตอนใหม่เพียงอย่างเดียวคือสูตรพื้นที่ที่ถูกต้องสำหรับรูปร่างนั้น เขียนในพจน์ของฐาน
- ได้ $A(x)$ จากเรขาคณิต แล้วอินทิเกรตเหมือนเดิม
หน้าตัดสามเหลี่ยม
- สำหรับ สามเหลี่ยมด้านเท่า ด้านยาว $s$: พื้นที่ $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$
- สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากสมบารดที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $s$: พื้นที่ $=\dfrac12 s^2$; สามเหลี่ยมทั่วไป: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$
- ใช้ความยาวฐาน $s(x)$ (ช่องว่างที่แผ่นตัดครอบคลุม) ในสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมที่ถูกต้อง
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$ แล้วอินทิเกรต
ฐานที่แผ่นตัดมีขนาดเปลี่ยนแปลง
y = a·√x
พื้นที่ฐานเดียวกันให้ปริมาตรต่างกันขึ้นอยู่กับรูปร่างแผ่นตัด — เฉพาะค่าคงที่พื้นที่ คูณ $s(x)^2$ เท่านั้นที่เปลี่ยนไป
พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน $s$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สามเหลี่ยมด้านเท่า: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
จับคู่รูปร่างหน้าตัดแต่ละชนิดกับค่าคงที่พื้นที่ (คูณ $s^2$)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่แต่ละชนิดเท่ากับค่าคงที่ของมัน คูณกับฐานยกกำลังสอง
หน้าตัดครึ่งวงกลม
- ครึ่งวงกลม ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว $s$ มีรัศมี $\dfrac{s}{2}$ ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$
- ฐานของแผ่นตัดคือ เส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นแบ่งสองเพื่อหารัศมีก่อนยกกำลัง
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- ระวังตัวแปรนี้: เส้นผ่านศูนย์กลาง $\to$ รัศมี เป็นการหารด้วยสองซึ่งง่ายต่อการละเลย
หน้าตัดรูปครึ่งวงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่บนฐาน $s(x)$.รัศมีของมันคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฐานคือเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นรัศมีคือครึ่งหนึ่ง
สำหรับครึ่งวงกลมที่มีฐานเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง $s$, คุณต้องแบ่ง $s$ เป็นสองเท่าเพื่อหารัศมีก่อนยกกำลังสอง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รัศมี $=s/2$; การลืมขั้นตอนนี้เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
มันคือ "พื้นที่ในพจน์ของฐาน" เสมอ
- ทั้งหมดนี้คือ $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$
- สี่เหลี่ยม $\to 1$; สามเหลี่ยมด้านเท่า $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; ครึ่งวงกลม $\to \tfrac{\pi}{8}$; สามเหลี่ยมมุมฉากสมบารด $\to \tfrac12$
- หาฐาน $s(x)$ จากพื้นที่ ใส่ลงในสูตรพื้นที่ของรูปร่าง แล้วอินทิเกรต
- การคำนวณเชิงอนุพันธ์เหมือนกัน; เพียงแต่ค่าคงที่นำหน้าเปลี่ยนไปเท่านั้น
ฐานอยู่ใต้ $y=\sqrt x$ บน $[0,4]$, แผ่นครึ่งวงกลม: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. จากนั้น $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
ปริมาตรหน้าตัดทุกชิ้นคือ $\int_a^b A(x)\,dx$ โดยที่ $A(x)$ = (ค่าคงที่รูปร่าง) × $\times s(x)$ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่สเกลกับฐานยกกำลังสอง
สำหรับ ครึ่งวงกลม ฐานของแผ่นตัดคือ เส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นรัศมีคือ $\frac{s}{2}$ — อย่ายกกำลังฐานทั้งหมด seolahว่าเป็นรัศมี และจับคู่สูตรสามเหลี่ยมกับ ประเภท ที่ระบุ (สามเหลี่ยมด้านเท่า vs สามเหลี่ยมมุมฉากสมบารด);他们有different constants. ฐาน $s(x)$ ยังคงเป็นช่องว่างที่แผ่นตัดครอบคลุม
ฐานเป็นพื้นที่ใต้ $y=\sqrt x$ บน $[0,4]$; หน้าตัดเป็น ครึ่งวงกลม ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่บนฐาน
- เส้นผ่านศูนย์กลาง $s(x)=\sqrt x$, ดังนั้นรัศมี $=\dfrac{\sqrt x}{2}$
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
สำหรับหน้าตัดแบบ สามเหลี่ยม หรือ ครึ่งวงกลม ใช้ $V=\int_a^b A(x)\,dx$ กับพื้นที่ของรูปร่าง: สามเหลี่ยมด้านเท่า $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, สามเหลี่ยมมุมฉากสมบารด $\frac12 s^2$, ครึ่งวงกลม $\frac{\pi}{8}s^2$ (ฐาน $=$ เส้นผ่านศูนย์กลาง, ดังนั้นรัศมี $=\frac s2$) หาฐาน $s(x)$ และอินทิเกรต