ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์: หมุนรอบแกน x หรือแกน y
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | ดิสก์ |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | วิธีดิสก์ |
หมุนพื้นที่ให้เป็นวัตถุ
- นำพื้นที่มา หมุนรอบแกน แล้วมันจะสร้าง วัตถุหมุน
- ตัดตั้งฉากกับแกนและแต่ละแผ่นตัดจะเป็น ดิสก์ บางๆ (เหรียญ)
- รวมปริมาตรของดิสก์: วิธีดิสก์
- มันเป็นสูตรหน้าตัดที่มีแผ่นตัดทรงกลม
แต่ละแผ่นตัดในวิธีดิสก์คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหมุนกวาดพื้นที่เกิดดิสก์วงกลม
สูตรดิสก์
- ดิสก์แต่ละอันเป็นวงกลมที่มีรัศมี $R$ และความหนา $dx$ ดังนั้นปริมาตรของมันคือ $\pi R^2\,dx$
- หากพื้นที่ระหว่าง $y=R(x)$ กับแกนถูกหมุนรอบแกน $x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- รัศมี $R(x)$ คือระยะห่างจากเส้นโค้งถึงแกนหมุน — ที่นี่คือ $f(x)$ เท่านั้น
โปรไฟล์ที่หมุนกลายเป็นดิสก์
y = a·√x
การหมุน $y=\sqrt x$ รอบ $x$-แกน จะเรียงชั้นดิสก์ที่มีรัศมี $\sqrt x$ — ปริมาตร $\pi\int R^2\,dx$.
การหมุน $y=R(x)$ รอบ $x$-แกน, ปริมาตรคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละดิสก์คือ $\pi R^2\,dx$.
หมุนรอบแกน y
- หมุนรอบแกน $y$ แทน? ตัดแนวราบและเขียนรัศมีในพจน์ของ $y$
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- ตอนนี้ $R(y)$ เป็นระยะแนวนอนจากเส้นโค้ง $x=g(y)$ ถึงแกน $y$
- สูตรเดียวกัน อินทิเกรตใน $y$ พร้อมวัดรัศมีตามแนวข้าง
ในวิธีดิสก์, รัศมี $R$ คือ ____ จากเส้นโค้งไปยังแกนหมุน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รัศมี = ระยะถึงแกน
การหมุนรอบ $y$-แกน, คุณอินทิเกรตใน $y$ โดยใช้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จับคู่ตัวแปรกับแกน: $y$-แกน → $R(y)$, อินทิเกรตใน $y$.
รัศมีคือระยะทาง
- ทักษะสำคัญ: ระบุ $R$ ว่าเป็นระยะทางจากเส้นโค้งถึงแกนได้อย่างถูกต้อง
- หมุนรอบแกน $x$ เส้นโค้ง $y=f(x)$ ให้รัศมี $R=f(x)$ (ส่วนสูงของมัน)
- หมุนรอบแกน $y$ เส้นโค้ง $x=g(y)$ ให้รัศมี $R=g(y)$
- ยกกำลังรัศมี คูณด้วย $\pi$ และอินทิเกรตตามแกน
การหมุน $y=\sqrt x$ รอบ $[0,4]$ บนแกน $x$ ($R^2=x$) จะได้ $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
วิธีดิสก์มีตัวประกอบ $\pi$ และยกกำลังสองรัศมี
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$V=\pi\int R^2$.
อย่าลืม $\pi$ และการ ยกกำลัง — วิธีดิสก์คือ $\pi\int R^2$ ไม่ใช่ $\int R$ และจับคู่ตัวแปรอินทิเกรตกับแกน: หมุนรอบแกน $x$ → อินทิเกรตใน $x$ ด้วย $R(x)$; รอบแกน $y$ → อินทิเกรตใน $y$ ด้วย $R(y)$ การผสมกันเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
หมุนพื้นที่ใต้ $y=\sqrt x$ บน $[0,4]$ รอบแกน $x$
- รัศมี $R(x)=\sqrt x$, ดังนั้น $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- แต่ละดิสก์เป็นวงกลมที่มีรัศมี $\sqrt x$ เรียงเรียงตามแกน $x$
วิธี ดิสก์ (disc method) คือการหมุนพื้นที่รอบแกนให้เป็นแผ่นวงกลม: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ รอบแกน $x$ หรือ $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ รอบแกน $y$. รัศมี $R$ คือระยะจากเส้นโค้งไปหาแกน. ห้ามลืม $\pi$ หรือกำลังสองเด็ดขาด.