ปริมาตรด้วยหน้าตัด: สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้า
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | หน้าตัด |
stacking up thin slabs into a solid
- การอินทิเกรตยังหา ปริมาตร ได้ ไม่ใช่เพียงพื้นที่ — โดยการบวกหั่นบางๆ ของวัตถุแข็ง
- หั่นวัตถุแข็งตั้งฉากกับแกน; แต่ละหั่นเป็นแผ่นบางที่มี พื้นที่หน้าตัด某个 $A(x)$
- บวกเข้าด้วยกัน: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — อินทิกรัลของพื้นที่หน้าตัด
- บทเรียนนี้ครอบคลุมวัตถุแข็งwhose cross sections are squares or rectangles.
สูตรปริมาตรทั่วไป
- ถ้าหน้าตัดที่ $x$ มีพื้นที่ $A(x)$ และความหนา $dx$, ปริมาตรเล็กของมันเป็น $A(x)\,dx$
- บวกทั่วทั้งวัตถุ: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- ทุกอย่างลดรูปเหลือ: เขียนพื้นที่หน้าตัดเป็นฟังก์ชันของ $x$, แล้วอินทิเกรต
- ส่วนที่ยากคือเรขาคณิตของหั่นหนึ่งชิ้น, ไม่ใช่แคลคูลัส
ปริมาตรของวัตถุแข็งที่มีพื้นที่หน้าตัด $A(x)$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รวมแผ่นบาง $A(x)\,dx$.
เพื่อใช้ $V=\int_a^b A(x)\,dx$, แผ่นตัดหน้าตัดต้อง...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แผ่นตัดตั้งฉากกับแกนที่คุณอินทิเกรตตามนั้น
หน้าตัดรูปสี่เหลี่ยม
- รูปแบบที่พบบ่อย: หน้าตัดเป็น สี่เหลี่ยม โดยฐานวางอยู่บนพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น
- หากความยาวฐานคือ $s(x)$ (มักจะเป็น $f(x)-g(x)$ คือช่องว่างระหว่างเส้นโค้ง) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจะเท่ากับ $s(x)^2$
- ดังนั้น $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$
- ฐานของแต่ละสี่เหลี่ยมครอบคลุมพื้นที่นั้น; พื้นที่ของมันคือฐานกำลังสอง
พื้นที่ฐานใต้ √x
y = a·√x
แต่ละแผ่นสี่เหลี่ยมตั้งอยู่บนฐาน; ด้านของมันคือความสูง $\sqrt{x}$, ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ $(\sqrt{x})^2=x$.
สำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีฐาน $s(x)$, พื้นที่คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $s$ มีพื้นที่ $s^2$.
ความยาวฐานของหน้าตัดมักเป็นระยะห่างระหว่างเส้นโค้งขอบเขต, $f(x)-g(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฐานครอบคลุมพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
หน้าตัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
- สำหรับ สี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่คือฐาน $\times$ คูณสูง: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$
- ความสูงอาจเป็นค่าคงที่คูณกับฐาน หรือกำหนดแยกต่างหากในโจทย์
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- อ่านโจทย์อย่างละเอียดเพื่อให้ได้กฎของความสูงถูกต้อง
ฐานอยู่ใต้ $y=\sqrt x$ บน $[0,4]$, หน้าตัดสี่เหลี่ยม: $A(x)=x$. หา $V=\int_0^4 x\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
สำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า, พื้นที่ = ฐาน ____ สูง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A=s\cdot h$ สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ความยาวฐาน $s(x)$ มักจะเป็น ระยะห่างระหว่างเส้นโค้งขอบเขต ($f(x)-g(x)$) หรือระหว่างเส้นโค้งกับแกน — ต้องหาให้แน่ใจว่าอะไรเป็นฐานก่อนการยกกำลัง สำหรับ สี่เหลี่ยม พื้นที่คือ $s(x)^2$ (อย่าลืมยกกำลังช่องว่างทั้งหมด) แผ่นตัดต้องตั้งฉากกับแกนที่เราอินทิเกรต
วัตถุมีฐานเป็นพื้นที่ใต้ $y=\sqrt{x}$ จาก $x=0$ ถึง $4$ โดยมีหน้าตัดแบบ สี่เหลี่ยม ตั้งฉากกับแกน $x$
- ฐานของแต่ละสี่เหลี่ยมคือ $s(x)=\sqrt{x}$ (จากเส้นโค้งถึงแกน $x$)
- พื้นที่หน้าตัด: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
ปริมาตรของวัตถุคือ $V=\int_a^b A(x)\,dx$ ซึ่งเป็นอินทิกรัลของ พื้นที่หน้าตัด สำหรับหน้าตัดแบบ สี่เหลี่ยม ที่มีฐาน $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; สำหรับ สี่เหลี่ยมผืนผ้า, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$ หาฐาน $s(x)$ (มักเป็นช่องว่างระหว่างเส้นโค้ง) เขียน $A(x)$ แล้วอินทิเกรต