การหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันบนช่วง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/ | ค่าเฉลี่ย |
ส่วนสูงเฉลี่ยของกราฟ
- คุณสามารถหาค่าเฉลี่ยของ รายการ จำนวนได้ — แต่จะหาค่าเฉลี่ยของ ฟังก์ชัน ซึ่งมีค่าไม่จำกัดจำนวนได้อย่างไร?
- การอินทิเกรตทำสิ่งนี้: ค่าเฉลี่ย ของ $f$ บน $[a,b]$ คือผลรวมทั้งหมดหารด้วยความกว้าง
- ลองจินตนาการว่าพื้นที่ใต้กราฟถูกปรับรูปทรงให้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างเท่าเดิม — ความสูงของมันคือค่าเฉลี่ย
- มันคือเวอร์ชันของแคลคูลัสสำหรับ "รวมแล้วหารด้วยจำนวน"
สูตร
- ค่าเฉลี่ยของ $f$ บน $[a,b]$ คือ
-
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
- คำนวณ อินทิกรัล_examples (ผลรวมทั้งหมด) แล้วหารด้วยความยาวช่วง $b-a$
- หน่วย: เหมือนกับ $f$ เอง (เป็นค่าเฉลี่ย ความสูง ไม่ใช่พื้นที่)
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่เท่ากัน
y = x²
ค่าเฉลี่ยคือความสูงคงที่ของสี่เหลี่ยมที่ปิดล้อมพื้นที่เท่ากับพื้นที่ใต้curve บน $[a,b]$
ค่าเฉลี่ยของ $f$ บน $[a,b]$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ผลรวมหารด้วยความกว้าง
ค่าเฉลี่ยมี ____ เหมือนกับฟังก์ชัน $f$ ไม่ใช่หน่วยของพื้นที่
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเป็นค่าเฉลี่ยของความสูง ไม่ใช่พื้นที่
มันคือความสูงที่ "เรียบลง"
- ค่าเฉลี่ยคือความสูงคงที่ที่ให้ พื้นที่เท่ากัน บน $[a,b]$
- $\displaystyle\int_a^b f_{\text{avg}}\,dx = f_{\text{avg}}(b-a)=\int_a^b f\,dx$ — สี่เหลี่ยมผืนผ้าและพื้นที่ตรงกัน
- ดังนั้น $f_{\text{avg}}$ จึงเป็นจุดที่คุณจะ "ปรับให้ราบ" กราฟเพื่อรักษาผลรวมสะสมเท่าเดิม
- (ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของอินทิเกรตรับประกันว่า $f$ จะ ผ่าน ค่าเฉลี่ยนี้จริงๆ ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง)
หาค่าเฉลี่ยของ $f(x)=x^2$ บน $[0,3]$. ($\int_0^3 x^2\,dx=9$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$.
ทางเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยคือความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ความกว้าง $b-a$) ที่มี...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่เท่ากันคือค่าเฉลี่ย
ค่าเฉลี่ยในบริบท
- ความเร็วเฉลี่ยบน $[a,b]$ = $\frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ = การกระจัด ÷ เวลา
- อุณหภูมิเฉลี่ย, อัตราเฉลี่ย, ความเข้มข้นเฉลี่ย — ใช้สูตรเดียวกันหมด
- อ่านหน่วยเพื่อตีความ: ค่าเฉลี่ยของอัตราก็ยังคงเป็นอัตราอยู่ดี
- มันตอบคำถามว่า "ค่าคงที่เดียวที่จะสร้างผลรวมเท่านี้ได้คืออะไร?"
อินทิกรัล_examples $\int_a^b f\,dx$ ด้วยตัวเองคือค่าเฉลี่ยของ $f$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นั่นคือผลรวม; หารด้วย $b-a$ เพื่อหาค่าเฉลี่ย
การกระจัดของรถยนต์ในช่วง $[0,2]$ ชม. คือ $\int_0^2 v\,dt=120$ กม. หาความเร็วเฉลี่ย (กม./ชม.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{120}{2}=60$ กม./ชม.
ค่าเฉลี่ย หารด้วย $b-a$ — อย่าสับสนกับอินทิกรัลจำกัดเพียงอย่างเดียว (ซึ่งคือผลรวม หรือพื้นที่) $\int_a^b f\,dx$ คือ ปริมาณสะสม; $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ คือ ความสูงเฉลี่ย การลืมหารด้วย $\frac{1}{b-a}$ เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด
หาค่าเฉลี่ยของ $f(x)=x^2$ บน $[0,3]$
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9$.
- หารด้วยความกว้าง: $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-0}\cdot 9 = 3$
- ดังนั้นความสูงคงที่ $3$ จะครอบคลุมพื้นที่เท่าเดิมบน $[0,3]$
ค่าเฉลี่ย ของ $f$ บน $[a,b]$ คือ $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — โดยนำผลรวม (อินทิกรัลจำกัด) หารด้วยความกว้างของช่วง ค่านี้คือความสูงคงที่ที่ล้อมรอบพื้นที่เท่าเดิม และมีหน่วยเดียวกับ $f$ ห้ามละเลย $\frac{1}{b-a}$ เด็ดขาด