การเชื่อมโยงตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของฟังก์ชันโดยใช้อินทิกรัล
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | ตำแหน่ง |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | การกระจัด |
การเคลื่อนที่ ในบริบทของอินทิกรัล
- หน่วย 4 เปลี่ยนจากตำแหน่ง → ความเร็ว → ความเร่งผ่านการ หาอนุพันธ์ การอินทิเกรตจะดำเนินการในทิศทาง ย้อนกลับ
- อินทิเกรต ความเร่ง เพื่อคืนค่า ความเร็ว; อินทิเกรตความเร็วเพื่อคืนค่า ตำแหน่ง
- แต่ละขั้นตอนเป็นการสะสมอัตราการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ปริมาณที่เปลี่ยนแปลงนั้น
- ดังนั้นอินทิกรัลจึงช่วยสร้างเรื่องราวการเคลื่อนที่กลับมาจากอัตราเหล่านั้น
ในการหาตำแหน่งจากความเร็ว คุณ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตำแหน่ง $=$ เริ่มต้น $+\int v\,dt$.
การไปขึ้นตามลำดับ
- ความเร็วจากความเร่ง: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$
- ตำแหน่งจากความเร็ว: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$
- แต่ละข้อต้องการ ค่าเริ่มต้น (ซึ่งซ่อนอยู่ในรูปของค่าคงที่ของการอินทิเกรต)
- อินทิเกรตอัตราการเปลี่ยนแปลง แล้วบวกจุดเริ่มต้นของคุณเข้าไป
การหาตำแหน่งจากความเร็วต้องการค่าเริ่มต้น ____ เพื่อปรับค่าคงที่
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตำแหน่ง $=$ ตำแหน่งเริ่มต้น $+\int v\,dt$.
การกระจัดเทียบกับระยะทาง
- การกระจัด บน $[a,b]$ คืออินทิกรัลที่มีเครื่องหมายของความเร็ว: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — ซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งสุทธิ
- ระยะทางรวม คืออินทิกรัลของ ความเร็ว $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — ซึ่งจะไม่มีการลบค่า
- หากวัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ การกระจัดและระยะทางจะแตกต่างกัน
- การกระจัดอาจเป็นศูนย์หลังการเคลื่อนที่จริง; ระยะทางไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ (ยกเว้นไม่มีการเคลื่อนที่เลย)
พื้นที่ที่มีเครื่องหมายใต้กราฟความเร็ว
y = t − 2 (ความเร็ว)
พื้นที่ที่มีเครื่องหมายใต้ $v(t)$ คือ การกระจัด; การนำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละส่วน (แบ่งที่ $v=0$) จะได้ระยะทาง
สำหรับ $v(t)=t-2$ บน $[0,3]$, จงหาการกระจัด $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
การกระจัดอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าวัตถุจะเคลื่อนที่จริง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเดินทางไปและกลับให้ผลรวมการกระจัดเป็นศูนย์แต่มีระยะทางบวก
ระยะทางหมายถึงการแบ่งช่วงที่จุดกลับทิศทาง
- เพื่อหาระยะทางรวม ให้หาตำแหน่งที่ $v=0$ (จุดกลับทิศทาง) แล้วอินทิเกรต $|v|$ แบบแยกส่วน
- ในแต่ละช่วง $v$ จะมีเครื่องหมายคงที่ ดังนั้น $|v|$ จึงเป็นเพียง $\pm v$ เท่านั้นในบริเวณนั้น
- บวกพื้นที่ สัมบูรณ์ ของแต่ละส่วนเข้าด้วยกัน — ห้ามหักล้างกัน
- ขั้นตอน "แบ่งที่ $v=0$" นี้คือสิ่งที่ทำให้ระยะทาง $\neq$ แตกต่างจากการกระจัด
สำหรับ $v(t)=t-2$ บน $[0,3]$, ระยะทางรวมคือ $\int_0^3 |t-2|\,dt$. คำนวณมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แบ่งที่ $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
ระยะทางทั้งหมดที่เดินทางบน $[a,b]$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อินทิกรัลของความเร็วมagnitude $|v|$; ต้องแบ่งที่จุดกลับทิศทาง
การกระจัด ($\int v\,dt$) มีเครื่องหมายและอาจเป็นศูนย์ได้แม้หลังเคลื่อนที่; ระยะทางรวม ($\int|v|\,dt$) จะไม่เป็นลบเสมอ ในการหาระยะทาง ให้แบ่งช่วงตามจุดที่ $v=0$ และบวกค่า สัมบูรณ์ — อย่า простоอินทิเกรต $v$ แล้วนำค่าสัมบูรณ์ของผลลัพธ์มาคำนวณ และในการหาตำแหน่ง/ความเร็ว ต้องใช้ ค่าเริ่มต้น
อนุภาคมี $v(t)=t-2$ (m/s) บน $[0,3]$. จงหาการกระจัดและระยะทางรวม
- การกระจัด: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ ที่ $t=2$: เป็นลบบน $[0,2)$, เป็นบวกบน $(2,3]$.
- ระยะทาง: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
อินทิกรัลสร้างการเคลื่อนที่ใหม่: ความเร็ว $=$ ค่าเริ่มต้น $+\int a\,dt$, ตำแหน่ง $=$ ค่าเริ่มต้น $+\int v\,dt$. การกระจัด บน $[a,b]$ คือ $\int_a^b v\,dt$ ที่มีเครื่องหมาย; ระยะทางรวม คือ $\int_a^b|v|\,dt$ — แบ่งที่จุดกลับทิศทาง ($v=0$) แล้วบวกค่าสัมบูรณ์