ผลรวมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่ม
| English | ไทย |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | ความแปรปรวน |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | ผลรวมเชิงเส้น |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | ตัวแปรสุ่ม |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | การแปลงเชิงเส้น |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | เป็นอิสระต่อกัน |
คณิตศาสตร์ของการรวมตัว
- หากคุณทราบค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสองของกระบวนการแยกกันสองกระบวนการ แล้วเมื่อ将它们相加会发生什么?
- การรวมเชิงเส้น ช่วยให้คุณทำนายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มที่รวมกัน — สำคัญต่อการควบคุมคุณภาพ การเงิน และวิศวกรรม
การทดลองผลรวมเชิงเส้น
E(aX + b) = aE(X) + b
เปลี่ยนปัจจัยการขยายและดูว่าค่าคาดหมายมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร
การแปลงเชิงเส้นของตัวแปรเดียว
- สำหรับตัวแปรเดียวที่ถูกเปลี่ยนโดยกฎเชิงเส้น:
ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. ให้ $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
ค่าคงที่ $b$ หายไปในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสอง การบวกค่าคงที่จะเลื่อนค่าเฉลี่ยแต่ไม่เปลี่ยนการกระจาย $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, ไม่ใช่ $\text{Var}(X) + 25$.
การแจกแจงปัวซง Po(3); ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสองมีค่าเท่ากับ lambda
X มีค่าเฉลี่ย 5. E(3X − 1) คืออะไร?
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X มีความแปรปรวน 4. Var(3X − 1) คืออะไร?
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (ค่า −1 ไม่มีผลต่อความแปรปรวน)
ใน Var(aX + b), ค่าคงที่ b:
การเพิ่มค่าคงที่จะเลื่อนข้อมูลแต่ไม่เปลี่ยนขนาดการกระจาย ดังนั้น b จึงหายไปจากสมการความแปรปรวน
ตัวแปรอิสระสองตัว
- หมายเหตุ: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสองจะ บวกกันเสมอ (แม้สำหรับ $X - Y$), เนื่องจาก $(-1)^2 = 1$.
X และ Y เป็นอิสระต่อกัน. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ?
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (ความแปรปรวนบวกกันได้สำหรับตัวแปรอิสระ)
X และ Y เป็นอิสระต่อกัน. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ?
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. ความแปรปรวนบวกกันได้เสมอ
การแจกแจงภายใต้การรวมเชิงเส้น
- ถ้า $X$ เป็นปกติ那么 $aX + b$ ก็จะเป็นปกติเช่นกัน; ผลรวมของตัวแปรปกติที่เป็นอิสระกันจะเป็นปกติ
- ผลรวมของปัวซงที่เป็นอิสระกันจะเป็นปัวซง: ถ้า $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ และ $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, แล้ว $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
ถ้า X ~ Po(3) และ Y ~ Po(5) เป็นอิสระต่อกัน แล้ว X + Y ~ Po(8)
ผลรวมของตัวแปรปอยซงที่เป็นอิสระต่อกันจะเป็นปอยซงที่มีพารามิเตอร์ λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8
ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ — การรวมตัวปกติ
- $X \sim N(10, 4)$ และ $Y \sim N(20, 9)$, เป็นอิสระ. หาการแจกแจงของ $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- ดังนั้น $X + Y \sim N(30, 13)$
- การรวมเชิงเส้นของการแจกแจง ปกติ จะเป็นปกติ; ผลรวมของการแจกแจง ปัวซง ที่เป็นอิสระกันจะเป็นปัวซง
คุณเข้าใจแล้ว
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (ค่า $b$ หายไป, $a$ เป็น กำลังสอง)
- เป็นอิสระ: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- ปกติยังคงเป็นปกติภายใต้กฎเชิงเส้น; ผลรวมของปัวซงที่เป็นอิสระกันจะเป็นปัวซง