ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

คำศัพท์

English	ไทย
continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/	ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง
probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/	ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
area/ˈeərɪə/	พื้นที่
cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/	ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

กราฟที่บอกความน่าจะเป็น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสามารถมีค่าใดๆ ในช่วงหนึ่ง — เช่น เวลาที่รถประจำทางมาถึงอย่างแม่นยำ หรือส่วนสูงของบุคคล
ต่างจากตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง คุณไม่สามารถระบุความน่าจะเป็นของแต่ละค่าได้ แต่ใช้ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (pdf) เพื่ออธิบายรูปร่าง และความน่าจะเป็นคือ พื้นที่ใต้กราฟ

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง สามารถมีค่าใดๆ ในช่วงหนึ่ง ซึ่งอธิบายโดย ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(x)$:

$$f(x) \geq 0, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$

Example

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ สำหรับ $0 \leq x \leq 4$, เป็นศูนย์อื่นๆ ตรวจสอบ: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓

Watch out

$f(x)$ ไม่ใช่อะไรก็ตาม. ค่าของ $f(x)$ ที่จุดหนึ่งอาจมากกว่า 1 พื้นที่ใต้กราฟระหว่างสองจุดเท่านั้นที่ให้ความน่าจะเป็น

สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นคือพื้นที่ใต้ความหนาแน่น f(x)

สำรวจ

พื้นที่ = ความน่าจะเป็น

P(a < X < b) = ∫ f(x) dx

สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็น คือ พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นระหว่างสองค่า

ฝึกฝน

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นต้องทำให้อินทิกรัล ∫f(x)dx ทั่วทุก x เท่ากับค่าใด?

ฝึกฝน

ค่าของ f(x) ที่จุดหนึ่งคือความน่าจะเป็นที่ X มีค่าเท่ากับจุดนั้น

ฝึกฝน

สำหรับ f(x) = x/8 บนช่วง 0 ≤ x ≤ 4, ตรวจสอบว่า ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴ ผลลัพธ์คืออะไร?

การหาความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นคือ พื้นที่ใต้ $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นรูปสามเหลี่ยม f(x) = x/2 บนช่วง 0 ถึง 2 โดยพื้นที่ทั้งหมดใต้เส้นถูกแรเงาเพื่อแสดงว่าเท่ากับ 1

ความน่าจะเป็นคือพื้นที่ใต้ f(x); พื้นที่รวมเหนือ x ทั้งหมดต้องเท่ากับ 1.

ฝึกฝน

สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง, P(a < X < b) คือพื้นที่ใต้ f(x) ระหว่าง a และ b

การหาค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสอง

ค่าเฉลี่ยคือ $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสองคือ $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, โดยที่ $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.

ฝึกฝน

สำหรับ f(x) = ½x บนช่วง 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². จงหาค่า E(X)? (≈, ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)