อินทิเกรชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | การหาปริพันธ์ |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ค่าคงที่ของการหาปริพันธ์ |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัลจำกัด |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | ปริมาตรของวัตถุหมุน |
พื้นที่ใต้กราฟ
- จรวดใช้น้ำมันเท่าไหร่หากแรงดันเปลี่ยนตามเวลา? พื้นที่นาบentukโค้งครอบคลุมพื้นที่เท่าไหร่?
- การหาปริพันธ์ ตอบคำถามเหล่านี้ — มันหาปริมาณสะสมทั้งหมดจากอัตราการเปลี่ยนแปลง
การหาอนุพันธ์กลับ (อินทิเกรตไม่จำกัดขอบเขต)
- การอินทิเกรต คือการทำกระบวนการตรงกันข้ามกับการหาอนุพันธ์:
- ค่าคงที่ $+\,C$ คือ ค่าคงที่ของการอินทิเกรต — หาได้จากจุดที่กำหนดให้
ตัวอย่างวิธีทำ. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. หากเส้นโค้งผ่าน $(1, 5)$: $1^3 + C = 5$, ดังนั้น $C = 4$ และ $y = x^3 + 4$.
อินทิกรัลจำกัดขอบเขตวัดพื้นที่ทึบสีระหว่างเส้นโค้งและแกน x
พื้นที่ใต้กราฟ
area = ∫ f(x) dx
ลาก ขอบเขต a และ b — พื้นที่ ที่แรเงาระหว่างเส้นโค้งกับแกน x คือ อินทิกรัล_examples
ทำไมอินทิกรัลไม่กำหนดรูปแบบจึงมี "+ C"?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหาอนุพันธ์ของค่าคงที่ได้ 0 ดังนั้นฟังก์ชันต้นฉบับอาจมีค่าคงที่ใดก็ได้ — จึงมี + C
ถ้า dy/dx = 4x และเส้นโค้งผ่านจุด (1, 7) ค่า C ในสมการ y = 2x² + C คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
y = 2x² + C ที่จุด (1, 7): 7 = 2(1)² + C → C = 5
อินทิกรัลจำกัดขอบเขต
- อินทิกรัลจำกัดขอบเขต ให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลข: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- พื้นที่ ภายใต้เส้นโค้งจาก $p$ ถึง $q$ คือ $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ (สำหรับสองเส้นโค้ง ให้อินทิเกรตบน − ล่าง).
อินทิกรัลจำกัดขอบเขต $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. พื้นที่ทึบสีมีขนาด $9$ ตารางหน่วย.
พื้นที่อยู่ใต้แกน x จะมีค่าติดลบ. หากเส้นโค้งลดต่ำลงไปใต้แกน อินทิกรัลจะให้ค่าติดลบ เพื่อหาพื้นที่รวม ให้แบ่งที่รากของสมการแล้วใช้ค่าสัมบูรณ์ของแต่ละส่วน
หาค่าอินทิกรัล_examples ของ 2x จาก 0 ถึง 3 (∫₀³ 2x dx)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫2x dx = x², ดังนั้น [x²]₀³ = 9 − 0 = 9
หาค่า ∫₀² 3x² dx
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫3x² dx = x³, ดังนั้น [x³]₀² = 8 − 0 = 8
ถ้าเส้นโค้งอยู่ใต้แกน x อินทิกรัล_examplesจะให้ค่าลบ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่ใต้แกน x มีผลเสียต่ออินทิกรัล ให้ใช้ค่าสัมบูรณ์เพื่อหาพื้นที่จริง
ปริมาตรจากการหมุน
- ปริมาตรจากการหมุน รอบแกน $x$: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- จินตนาการว่าเป็นการซ้อนดิสก์บางเฉียบจำนวนนับไม่ถ้วนที่มีรัศมี $y$ และความหนา $dx$
การหมุนบริเวณใต้เส้นโค้งรอบแกน x จะเกิดรูปทรง โดยรวมด้วยดิสก์บางๆ
ปริมาตรจากการหมุนรอบแกน x ของ y = x จาก 0 ถึง 2 คือ π∫₀² x² dx หาค่า (โดยไม่รวม π)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.67
ตัวอย่างวิธีทำ
- หาพื้นที่ใต้ $y = x^2$ จาก $x = 0$ ถึง $x = 3$:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- อินทิกรัลไม่ปกติ (improper) มีขอบเขตเป็นอนันต์หรือฟังก์ชันภายในอินทิกรัลไม่มีขอบเขต
คุณเข้าใจแล้ว
- การอินทิเกรต ทำกระบวนการตรงกันข้าม กับอนุพันธ์; จำค่า $+\,C$ ได้
- อินทิกรัลจำกัดขอบเขต $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
- ปริมาตรจากการหมุน รอบแกน $x$ $= \pi\int y^2\,dx$
- พื้นที่ใต้แกนคือ ค่าติดลบ — แบ่งและใช้ค่าสัมบูรณ์เพื่อหาพื้นที่รวม