พีชคณิต (ค่าสัมบูรณ์และพหุนาม)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | ค่าสัมบูรณ์ |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทเศษเหลือ |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | พหุนาม |
| degree/dɪˈɡriː/ | ดีกรี |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทตัวประกอบ |
ค่าสัมบูรณ์ที่ช่วยรักษสะพาน
- วิศวกรที่ออกแบบสายเคเบิลแขวนต้องทราบความเบี่ยงเบนสูงสุดจากค่าอุดมคติ — ไม่ว่าจะเป็นด้านใด
- โมดูลัส (ค่าสัมบูรณ์) วัดระยะห่างจากศูนย์โดยไม่สนใจทิศทาง ปรากฏทุกที่: ขอบเขตความคลาดเคลื่อน, ความทนทาน, และอสมการ
ฟังก์ชันโมดูลัส
- โมดูลัส $|x|$ คือขนาดของตัวเลข โดยเอาเครื่องหมายออก ($|x| \geq 0$). กราฟของมันมีรูปตัว "V"
- กฎที่มีประโยชน์:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
ฟังก์ชันโมดูลัส $y = |x - 2|$ สร้างรูปตัว V: ทุกสิ่งใต้แกนจะถูกสะท้อนขึ้นไปข้างบน
ตัวอย่างวิธีทำ. แก้ $|2x - 3| = 7$. ทั้ง $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$ หรือ $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. คำตอบ: $x = 5$ หรือ $x = -2$.
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
y = a|x − b| + c
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ทำให้เกิดรูป ตัว V เลื่อน จุดยอด ด้วย b และ c; เปลี่ยนความชันของ แขน ด้วย a
แก้สมการ |x − 2| < 3 คำตอบคือ −1 < x < ? ขอบเขตบนคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
|x − 2| < 3 หมายความว่า 2 − 3 < x < 2 + 3 หรือ −1 < x < 5
แก้สมการ |2x − 3| = 7 คำตอบที่มีค่ามากกว่าคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2x − 3 = 7 → x = 5; หรือ 2x − 3 = −7 → x = −2 ตัวที่มีค่ามากกว่าคือ 5
ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ
- พหุนาม คือผลบวกของกำลังของ $x$; ดีกรี ของมันคือกำลังสูงสุด
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ: เศษที่เหลือเมื่อ $p(x) \div (x - a)$ หารด้วย $p(a)$
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ: $(x - a)$ เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ $p(a) = 0$
อย่าสับสนระหว่างทฤษฎีบททั้งสอง. ทฤษฎีบทเศษเหลือให้เศษเหลือสำหรับตัวหารใดๆ $(x - a)$ ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นกรณีพิเศษ: เมื่อเศษเหลือเป็น ศูนย์, $(x - a)$ จะเป็นตัวประกอบ
การนำโมดูลัสมาทำให้ส่วนลบของเส้นโค้งพับขึ้นมาเป็นรูปตัว V
ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ เศษเหลือของ p(x) = x² + 3x + 2 เมื่อหารด้วย (x − 1) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เศษเหลือ = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6
(x − a) เป็นตัวประกอบของ p(x) ก็ต่อเมื่อ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทฤษฎีบทตัวประกอบ: (x − a) เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ p(a) = 0
ตัวอย่างวิธีทำ — ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- แสดงว่า $(x - 2)$ เป็นตัวประกอบของ $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. เนื่องจาก $p(2) = 0$, $(x - 2)$ จึงเป็นตัวประกอบ
- หาร: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$
สัญญาณตรงข้ามของ f(a) และ f(b) บ่งชี้ว่ามีรากอยู่ระหว่าง a และ b
ถ้า p(3) = 0 แล้ว (x − 3) เป็นตัวประกอบของ p(x)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ p(a) = 0 หมายความว่า (x − a) เป็นตัวประกอบ
กำหนดให้ p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 และ p(1) = 0 แยกตัวประกอบ: p(x) = (x − 1)(x² + bx + c) ค่า c คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
นำ x³ − 6x² + 11x − 6 หารด้วย (x − 1) ได้ x² − 5x + 6 ดังนั้น c = 6
การแก้สมการพหุนาม
- ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบหารากหนึ่ง แล้วหารเพื่อลดดีกรี
- พหุนามดีกรีสามมีรากจริงได้ไม่เกิน 3 ราก; ดีกรีสี่มีได้ไม่เกิน 4
- วาดกราฟเพื่อตรวจสอบ: จำนวนครั้งที่ตัดกับแกน $x$ ตรงกับจำนวนรากจริง
- หาอนุพันธ์ของเศษส่วนโดยใช้ กฎผลหาร
คุณเข้าใจแล้ว
- $|x|$ เอาเครื่องหมายออก; $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- เศษเหลือ เมื่อ $p(x) \div (x-a)$ หารด้วย $p(a)$
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ: $(x-a)$ เป็นตัวประกอบ $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- หารากหนึ่ง หาร แล้วแก้สมการกำลังสองที่เหลือ