การหาอนุพันธ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | การหาอนุพันธ์ |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | กฎกำลัง |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | กฎลูกโซ่ |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | จุดคงที่ |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์อันดับสอง |
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | การหาค่าสูงสุด/ต่ำสุด |
อัตราการเปลี่ยนแปลง
- จรวดเร่งความเร็วเร็วแค่ไหนในช่วงเวลาที่มีน้ำมันหมดพอดี? ล้อเหวี่ยงมีความชันเท่าใดที่จุดสูงสุด?
- การหาอนุพันธ์ ตอบคำถามเหล่านี้ — มันหาค่า อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ที่จุดใดๆ บนกราฟ
กฎกำลังและกฎลูกโซ่
- การหาอนุพันธ์ หา ความชันของกราฟ ที่แต่ละจุด — ซึ่งเรียกว่า อนุพันธ์ $f'(x)$ หรือ $\dfrac{dy}{dx}$.
- กฎกำลัง: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (สำหรับ $n$ ใดๆ ที่เป็นจำนวนตรรกยะ).
- กฎลูกโซ่ สำหรับฟังก์ชันภายในฟังก์ชัน: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.
อนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ ให้ความชันที่จุดใดๆ: ที่ $x = 2$, ความชันคือ $4$.
ตัวอย่างวิธีทำ. $y = (3x+1)^4$. ให้ $u = 3x+1$, ดังนั้น $y = u^4$. กฎลูกโซ่: $\dfrac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$.
ความชันที่จุดหนึ่ง
ความชัน = dy/dx = f ′(x)
เลื่อนจุดไปตามเส้นโค้ง — ความชันของ เส้นสัมผัส คือ ความชัน f ′(x) ที่จุดนั้น
ถ้า y = x³ แล้ว dy/dx = 3x² ความชันที่ x = 2 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 3x² = 3 × 2² = 3 × 4 = 12
ถ้า y = (2x + 1)³ แล้ว dy/dx = 6(2x + 1)² ค่าของ dy/dx ที่ x = 1 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่ x = 1: dy/dx = 6(2(1) + 1)² = 6(3)² = 6 × 9 = 54
จุดหยุดนิ่ง
- จุดหยุดนิ่ง คือจุดที่ $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (สายสัมผัสราบเรียบ).
- ทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง:
- $f''(x) > 0$ → จุดต่ำสุด,
- $f''(x) < 0$ → จุดสูงสุด.
- นอกจากนี้: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → เพิ่มขึ้น; $< 0$ → ลดลง.
อย่าลืมกฎลูกโซ่. เมื่อหาอนุพันธ์ $(ax+b)^n$ คุณต้องคูณด้วยอนุพันธ์ของด้านใน: $\dfrac{d}{dx}(ax+b)^n = an(ax+b)^{n-1}$ ไม่ใช่แค่ $n(ax+b)^{n-1}$.
ที่จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด ความชัน dy/dx เป็นศูนย์
เส้นโค้ง y = x² − 6x + 5 มีจุดคงที่ ที่ค่า x อะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 2x − 6 = 0 ได้ x = 3
ที่จุดคงที่ หากอนุพันธ์อันดับสอง f″(x) > 0 จุดนั้นจะเป็น:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
f″ > 0 หมายถึงเส้นโค้งงอขึ้น — เป็นจุดต่ำสุด; f″ < 0 จะได้จุดสูงสุด
ถ้า dy/dx > 0 สำหรับทุก x ในช่วงหนึ่ง ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงนั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์บวกหมายถึงฟังก์ชันกำลังเพิ่มค่า — นั่นคือการเพิ่มขึ้น
สำหรับ y = x³ − 6x² + 9x + 2 อนุพันธ์อันดับสองที่ x = 3 มีค่า:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d²y/dx² = 6x − 12 ที่ x = 3: 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6 > 0 ดังนั้นจึงเป็นจุดต่ำสุด
ตัวอย่างวิธีทำ — การหาจุดหยุดนิ่ง
- $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
- จุดหยุดนิ่งอยู่ที่ $x = 1$ และ $x = 3$.
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: ที่ $x=1$, $f'' = -6 < 0$ (จุดสูงสุด); ที่ $x=3$, $f'' = 6 > 0$ (จุดต่ำสุด)
การประยุกต์ใช้การหาอนุพันธ์
- การหาค่าสูงสุด/ต่ำสุด (Optimisation): หาผลกำไรสูงสุดหรือต้นทุนต่ำสุดโดยการตั้ง $\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- อัตราการเปลี่ยนแปลง: ความเร็วคืออนุพันธ์ของความกระจัด; ความเร่งคืออนุพันธ์ของความเร็ว.
- การวาดกราฟ: จุดหยุดนิ่งและเครื่องหมายของ $\dfrac{dy}{dx}$ บอกรูปร่างของกราฟ
- อนุพันธ์ยังให้ความชันของ เส้นปกติ (ตั้งฉากกับสายสัมผัส) ด้วย
คุณเข้าใจแล้ว
- กฎกำลัง: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$; กฎลูกโซ่ สำหรับฟังก์ชันซ้อนกัน
- จุดหยุดนิ่ง: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- ทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง: $f'' > 0$ จุดต่ำสุด, $f'' < 0$ จุดสูงสุด
- เพิ่มขึ้น เมื่อ $\dfrac{dy}{dx} > 0$; ลดลง เมื่อ $\dfrac{dy}{dx} < 0$