อนุกรม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | ลู่เข้า |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | อนุกรมเรขาคณิต |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | การขยายกำลังสอง |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ทวินาม |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | อนุกรมเลขคณิต |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | ผลต่างร่วม |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | อนุกรมเรขาคณิต |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | อัตราส่วนร่วม |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | ผลบวกอนันต์ |
ผลรวมอนันต์ที่ลู่เข้า
- บวก $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ เข้าไปเรื่อยๆ ผลรวมคืออะไร? พอดีกับ $2$ Exactly.
- นี่คือ อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วน $\dfrac{1}{2}$ ไม่ใช่วิธีบวกอนันต์ทุกแบบจะ behaving nicely — แต่แบบที่ทำได้นั้นเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพใน finance, physics และ computing.
การขยายพหุนาม
- สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$:
- โดยที่ $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ เป็น สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient).
ตัวอย่างวิธีทำ. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. สัมประสิทธิ์ $1, 4, 6, 4, 1$ คือแถวที่ 4 ของสามเหลี่ยมของปาสคาล.
สัมประสิทธิ์ทวินาม C(5, 2) = 5! / (2! 3!) มีค่าเท่าไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
แปรถ่วงเลขคณิต (AP)
- AP เพิ่มค่าคงที่ ส่วนต่างร่วม $d$ ทุกขั้นตอน: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- พจน์ที่ $n$: $u_n = a + (n-1)d$.
- ผลบวกของ $n$ พจน์แรก: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
อนุกรมเลขคณิตมีพจน์แรก a = 3 และส่วนต่างร่วม d = 4 พจน์ที่ 5 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
อนุกรมเลขคณิตมี a = 2 และ d = 3 ผลรวมของ 5 พจน์แรกคือเท่าไหร่?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
แปรถ่วงเรขาคณิต (GP)
- GP คูณด้วยค่าคงที่ อัตราส่วนร่วม $r$ ทุกขั้นตอน: $a, ar, ar^2, \ldots$
- พจน์ที่ $n$: $u_n = ar^{n-1}$.
- ผลบวกของ $n$ พจน์แรก: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (สำหรับ $r \neq 1$).
AP เติบโตแบบเชิงเส้น (เพิ่ม $d$); GP เติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียล (คูณด้วย $r$). สำหรับ $r > 1$, GP จะใหญ่กว่า AP ในที่สุด.
สร้างลำดับ
uₙ = a · rⁿ⁻¹
แต่ละพจน์ คูณ ด้วย r เมื่อ |r| < 1 พจน์จะเล็กลงและ ผลรวมอนันต์ ลู่เข้าหาจุดหนึ่ง
อนุกรมเรขาคณิตมี a = 2 และ r = 3 พจน์ที่ 4 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
ผลรวมถึงอนันต์
- GP ลู่เข้า (converges) เมื่อ $|r| < 1$ — ค่าพจน์มีขนาดเล็กลงเรื่อยๆ
- ผลรวมถึงอนันต์: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ สำคัญมาก. ถ้า $|r| \geq 1$, ค่าพจน์ไม่หดตัวและผลรวมอนันต์จะลู่ออก (grow without bound). สูตร $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ ใช้ได้เฉพาะเมื่ออนุกรมลู่เข้าเท่านั้น
- แปรถ่วงเลขคณิต มีส่วนต่างร่วม; แปรถ่วงเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วม. แปรถ่วงเรขาคณิตที่ลู่เข้า ($|r|<1$) แสดงถึง การลู่เข้า ไปยังผลรวมถึงอนันต์.
อนุกรมเรขาคณิตมี a = 8 และ r = 0.5 ผลรวมอนันต์คือเท่าไหร่?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
อนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 1.5 จะมีผลรวมอนันต์เป็นจำนวนจำกัด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สูตรผลรวมอนันต์ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ |r| < 1 เท่านั้น เมื่อ r = 1.5 อนุกรมนี้จะลู่ไปทางอนันต์
จับคู่สูตรแต่ละข้อกับสิ่งที่คำนวณได้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d แทนอนุกรมเลขคณิต, r แทนอนุกรมเรขาคณิต — การจดจำสูตรถือเป็นครึ่งหนึ่งของคำถามสอบ
คุณเข้าใจแล้ว
- การขยายพหุนาม: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- ถ้า $|r|<1$, ผลรวมถึงอนันต์ $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$