ตรีโกณมิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | ตรีโกณมิติ |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | เส้นประ |
| identities/aɪˈdentɪtiz/ | เอกลักษณ์ |
คณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบรอบตัว
- น้ำขึ้นน้ำลง, คลื่นเสียง, กระแสไฟฟ้าสลับ,โคจรดาวเคราะห์ — ทั้งหมดอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- คลื่นไซน์และโคไซน์คือองค์ประกอบพื้นฐานของการเคลื่อนที่แบบรอบตัว ควบคุมมันได้แล้วคุณสามารถสร้างโมเดลของสิ่งใดก็ตามที่ซ้ำซาก
กราฟ sin, cos และ tan
- $\sin$ และ $\cos$ ลู่ขึ้นลู่ลงระหว่าง $-1$ และ $1$ และซ้ำทุก $360^\circ$ (หรือ $2\pi$ เรเดียน)
- $\tan$ ซ้ำทุก $180^\circ$ (หรือ $\pi$ เรเดียน) และมีเส้นประแนวนอนที่ $90^\circ$ และ $270^\circ$
วงกลมหนึ่งหน่วย: $\cos\theta$ คือพิกัด $x$, $\sin\theta$ คือพิกัด $y$ เนื่องจาก $x^2 + y^2 = 1$ เราจะได้ $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$.
วงกลมหน่วย
(cos θ, sin θ)
หมุนมุม θ รอบวงกลม: ด้านแนวนอน คือ cos θ และ ด้านแนวตั้ง คือ sin θ
ค่าที่แม่นยำ
- จำค่าเหล่านี้โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | ไม่ทราบค่า |
เทคนิคการจำ ค่าไซน์ตามรูปแบบ $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ สำหรับ $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ โคไซน์เป็นการกลับด้าน
รถเหวี่ยง: จุดบนขอบรถขยับขึ้นลงเหมือนกราฟไซน์
กราฟ Sine & cosine
ลาก Amplitude, Period และการเลื่อนของ y = a·sin(bx + c) + d และดูกราฟเปลี่ยนแปลงเทียบกับคลื่นพื้นฐาน
ค่าที่แน่นอนของ sin 30° คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin 30° = 1/2 = 0.5
ค่าของ tan 45° คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan 45° = 1
ค่าที่แน่นอนของ cos 60° คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 1/2 = 0.5
อีควอชัณน์สำคัญ
- เอกลักษณ์ พื้นฐานสองข้อ: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ และ $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- สิ่งเหล่านี้ช่วยให้เราแปลงระหว่างฟังก์ชันและลดรูปนิพจน์
$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ ไม่ใช่ $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$ เอกลักษณ์นี้เกี่ยวกับผลบวกของกำลังสอง ไม่ใช่กำลังสองของผลบวก นี่คือข้อผิดพลาดในข้อสอบที่พบบ่อย
sin และ cos ลู่ระหว่าง -1 ถึง 1; tan หักที่ 90 และ 270 องศา
สำหรับมุม θ ใดๆ ค่าของ sin²θ + cos²θ เท่ากับอะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
นี่คือเอกลักษณ์ sin²θ + cos²θ ≡ 1
เอกลักษณ์ใดถูกต้อง?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
tan θ ≡ sin θ / cos θ; และ sin²θ + cos²θ ≡ 1
การแก้สมการตรีโกณมิติ
- ในการแก้สมการตรีโกณมิติ: ลดให้อยู่ในรูปฟังก์ชัน หนึ่ง ตัว (มักเป็นสมการกำลังสองใน $\sin$ หรือ $\cos$), จากนั้นหาคำตอบ ทั้งหมด ในช่วงที่กำหนด
- ใช้ความสมมาตรของกราฟ: ถ้า $\sin\theta = k$ มีคำตอบ $\theta = \alpha$, แล้ว $\theta = 180^\circ - \alpha$ ก็เป็นคำตอบเช่นกัน
- แก้ สมการตรีโกณมิติ; ใช้ ฟังก์ชันผกผัน $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติผกผัน), ซึ่งให้ ค่าหลัก
ถ้า sin θ = 0.5 และ 0° ≤ θ ≤ 360° แล้ว θ = 30° เป็นคำตอบเดียว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สมการ sin θ = 0.5 ยังมีคำตอบอื่นในช่วงที่กำหนดนี้คือ θ = 180° − 30° = 150°
คุณเข้าใจแล้ว
- $\sin, \cos$ อยู่ภายใน $[-1, 1]$,ซ้ำทุก $360^\circ$; ต้องรู้ค่าที่แม่นยำของ $30/45/60$
- เอกลักษณ์: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- แก้โจทย์โดยลดรูปให้เหลือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติเดียว แล้วหา คำตอบทั้งหมด ในช่วง