หน่วยวัดมุม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | เรเดียน |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | ความยาวส่วนโค้ง |
| sector area/ˈsektə ˈeərɪə/ | พื้นที่ส่วนวงกลม |
| segment/ˈseɡmənt/ | ส่วนวงกลม |
ทำไมต้องใช้เรเดียน?
- วิศวกรวัดมุมเป็นองศา นักคณิตศาสตร์ชอบใช้ เรเดียน — และมีเหตุผลที่ดี
- เรเดียนคือ หน่วยธรรมชาติ: เป็นมุมที่ตัดส่วนโค้งยาวเท่ากับรัศมี
- ด้วยเรเดียน สูตรความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ภาควงกลมจะเรียบง่ายอย่างงดงาม
เรเดียนคืออะไร?
- เรเดียน คือมุมที่ตัดส่วนโค้ง ยาวเท่ากับรัศมี
- ความสัมพันธ์: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$
- องศา → เรเดียน: คูณด้วย $\dfrac{\pi}{180}$; เรเดียน → องศา: คูณด้วย $\dfrac{180}{\pi}$
การแปลงหน่วยทั่วไป. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ rad; $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ rad; $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad; $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ rad.
π เรเดียน เท่ากับกี่องศา?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตามนิยาม, π เรเดียน = 180°
60° ในหน่วยเรเดียนคือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
60° × π/180 = 60π/180 = π/3.
ความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ภาควงกลม
- สำหรับภาควงกลมที่มีรัศมี $r$ และมุม $\theta$ เป็นเรเดียน:
- ความยาวส่วนโค้ง $s = r\theta$,
- พื้นที่ภาควงกลม $A = \tfrac12 r^2 \theta$
ความงามของเรเดียน: ความยาวส่วนโค้ง $= r\theta$ และพื้นที่ภาควงกลม $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$ ไม่ต้องใช้เศษส่วน $\dfrac{\theta}{360}$ ที่ยุ่งยาก
เฉพาะเรเดียน สมการ $s = r\theta$ และ $A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ ใช้ได้ ก็ต่อเมื่อ $\theta$ เป็นเรเดียนเท่านั้น ถ้ามุมของคุณเป็นองศา ให้แปลงก่อน
ส่วนโค้งวงกลม
s = rθ · A = ½r²θ
ลาก มุม θ (ในเรเดียน) และ รัศมี r — ความยาวส่วนโค้ง และ พื้นที่ส่วนโค้งวงกลม จะติดตามไป
ส่วนโค้งวงกลมมีรัศมี 5 และมุม 2 เรเดียน ความยาวส่วน弧 (s = rθ) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
s = rθ = 5 × 2 = 10.
ส่วนโค้งวงกลมมีรัศมี 4 และมุม 0.5 เรเดียน พื้นที่ของมัน (A = ½r²θ) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A = ½ × 4² × 0.5 = ½ × 16 × 0.5 = 4.
สูตร s = rθ ใช้ได้เมื่อ θ วัดในหน่วยองศา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
s = rθ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ θ เป็นเรเดียน ต้องแปลงองศาเป็นเรเดียนก่อน
พื้นที่ส่วนวงกลม
- ส่วนวงกลม คือบริเวณระหว่างเส้นสายคอร์ดและส่วนโค้ง
- พื้นที่ส่วนวงกลม = ภาค − สามเหลี่ยม = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$
- พื้นที่สามเหลี่ยมคือ $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (ใช้สูตรพื้นที่ด้วยฟังก์ชันไซน์)
เส้นสัมผัสตัดวงกลมครั้งเดียวและตั้งฉากกับรัศมีที่จุดนั้น
ส่วนโค้งวงกลมมี r = 6 และ θ = π/3 เรเดียน พื้นที่ส่วนโค้งวงกลมคือ ½r²(θ − sin θ) หาค่า (2 dp)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½ × 36 × (π/3 − sin(π/3)) = 18 × (1.0472 − 0.8660) = 18 × 0.1812 = 3.26
ตัวอย่างวิธีทำ
- ภาค: $r = 5$, $\theta = 2$ rad
- ความยาวส่วนโค้ง $= 5 \times 2 = 10$
- พื้นที่ภาค $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$
- พื้นที่ส่วนวงกลม $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$
คุณเข้าใจแล้ว
- $\pi$ radians $= 180^\circ$; แปลงโดย $\times\dfrac{\pi}{180}$ หรือ $\times\dfrac{180}{\pi}$
- ความยาวส่วนโค้ง $s = r\theta$; พื้นที่ภาค $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ เป็นเรเดียน)
- ส่วนวงกลม $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$