เรขาคณิตพิกัด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | ความชัน |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ตั้งฉาก |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | จุดกึ่งกลาง |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก |
| tangent/ˈtændʒənt/ | เส้นสัมผัส |
คณิตศาสตร์ของการระบุตำแหน่ง
- ดาวเทียม GPS ระบุตำแหน่งของคุณได้แม่นยำภายในไม่กี่เมตรโดยใช้เรขาคณิตพิกัด
- ทุกแผนที่, ทุกแบบแปลน, ทุกกราฟคอมพิวเตอร์ขึ้นอยู่กับแนวคิดพื้นฐานเดียวกัน: เส้นตรง, วงกลม, และระยะห่างระหว่างจุด
เส้นตรง
- ความชัน ของเส้นตรงผ่าน $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- สมการเส้น: $y = mx + c$ (รูปแบบความชัน-จุดตัด), หรือ $y - y_1 = m(x - x_1)$ (รูปแบบจุด-ความชัน)
- เส้น ขนาน มีความชันเท่ากัน; เส้น ตั้งฉาก มีความชันที่คูณกันได้ $-1$
ตัวอย่างวิธีทำ. เส้นผ่าน $(2, 3)$ และ $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. สมการ: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$
กับดักความชันตั้งฉาก. ถ้าเส้นมีความชัน $2$, ความชันตั้งฉากคือ $-\dfrac{1}{2}$, ไม่ใช่ $-2$. คุณต้อง กลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย
เส้นตรง
y = ax + b
ความชัน a ทำให้อ้อมเส้น; Intercept b เลื่อนเส้นขึ้นและลง
gradient ของเส้นผ่าน (2, 3) และ (6, 11) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
เส้นหนึ่งมี gradient 2 gradient ของเส้นตั้งฉากกับมันคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Gradient ตั้งฉากคูณกันได้ −1, ดังนั้น gradient คือ −1/2 = −0.5
จุดกึ่งกลางและเส้นขนาน
- จุดกึ่งกลาง ของ $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$ คือ $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ผ่านจุดกึ่งกลางด้วยความชันที่ตัดกันเป็นมุมฉาก
ค่า x-coordinate ของจุดกึ่งกลางระหว่าง (2, 3) และ (8, 7) คือ:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จุดกึ่งกลาง x = (2 + 8)/2 = 5
วงกลม
- วงกลม, ศูนย์กลาง $(a, b)$,รัศมี $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- รูปขยาย (เช่น $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → เติมให้สมบูรณ์ ใน $x$ และ $y$ เพื่อหาศูนย์กลางและรัศมี
สมการ $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ อธิบายวงกลมที่มีศูนย์กลาง $(3, -2)$ และรัศมี $5$.
วงกลม (x − 3)² + (y + 2)² = 25 มีรัศมียาวเท่าไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 25, ดังนั้น r = 5; จุดศูนย์กลางคือ (3, −2)
วงกลม x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทำกำลังสองสมบูรณ์: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. จุดศูนย์กลางคือ (3, −5)
เส้นสัมผัสวงกลม
- เส้นสัมผัส สัมผัสวงกลมเพียงครั้งเดียวและ ตั้งฉากกับรัศมี ที่จุดนั้น
- ข้อเท็จจริงเรื่องมุม直角นี้ช่วยแก้โจทย์วงกลมส่วนใหญ่: หาความชันของรัศมี แล้วความชันของเส้นสัมผัสจะเป็น $-\dfrac{1}{m}$
เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดที่สัมผัส
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ข้อเท็จจริงมุมนี้แก้โจทย์วงกลมส่วนใหญ่ได้
คุณเข้าใจแล้ว
- ความชัน $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; ความชันตั้งฉากเมื่อคูณกันได้ $-1$
- วงกลม: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, ศูนย์กลาง $(a,b)$, รัศมี $r$
- เส้นสัมผัส ตั้งฉากกับ รัศมี ที่จุดสัมผัส
- จุดกึ่งกลาง $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$