ฟังก์ชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชัน |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
| range/reɪndʒ/ | เรนจ์ |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | การประกอบ |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | ฟังก์ชันผกผัน |
| one-one/wʌn wʌn/ | หนึ่งต่อหนึ่ง |
การทดสอบเครื่องขายอัตโนมัติ
- เครื่องขายอัตโนมัติรับรหัสหนึ่งและให้ขนมเป็ดExactlyหนึ่งชนิด. ถ้ารหัส A7 ให้มันฝรั่งทอดบ้างและช็อกโกแลตบ้าง แสดงว่าเครื่องเสีย
- ฟังก์ชัน ทำงานเหมือนกัน: แต่ละอินพุตจับคู่กับเอาต์พุต Exactlyหนึ่ง. กฎง่ายๆ นี้เป็นรากฐานของแคลคูลัสทั้งหมด
ฟังก์ชัน, โดเมน และเรนจ์
- ฟังก์ชัน $f(x)$ ส่งแต่ละอินพุตไปยังเอาต์พุต Exactlyหนึ่ง
- โดเมน = อินพุตที่ยอมรับได้; เรนจ์ = เอาต์พุตที่ถูกผลิตออกมา
- ตัวอย่าง: $f(x) = \sqrt{x}$ มีโดเมน $x \geq 0$ และเรนจ์ $f(x) \geq 0$
ข้อจำกัดของโดเมน. $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$ มีโดเมน $x \neq 3$ (หารด้วยศูนย์นิยามไม่ได้). เรนจ์คือจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น $0$
สำรวจฟังก์ชัน
y = ax³ + bx² + cx + d
ฟังก์ชันแปลง อินพุต แต่ละค่าให้เป็น เอาต์พุต Exactly หนึ่งค่า — ลากสัมประสิทธิ์และดูว่ากราฟ ขึ้น และ ลง ที่ไหน
โดเมนของ f(x) = √(x − 4) คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นิรยะใต้รากที่สองต้องไม่เป็นลบ: x − 4 ≥ 0, ดังนั้น x ≥ 4
ฟังก์ชันประกอบและอินเวอร์ส
- ฟังก์ชันเป็น หนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอินพุตต่างกันให้เอาต์พุตต่างกัน — เพียงเท่านั้นจึงจะมี อินเวอร์ส $f^{-1}$
- ฟังก์ชันประกอบ $fg(x) = f(g(x))$ — ทำ $g$ ก่อน แล้วค่อย $f$
ถ้า f(x) = x² และ g(x) = x + 1 fg(2) = f(g(2)) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
g(2) = 3, จากนั้น f(3) = 3² = 9
มีเพียงฟังก์ชัน one-one เท่านั้นที่มีฟังก์ชันผกผัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ถ้าอินพุตสองค่าให้เอาต์พุตเดียวกัน กฎย้อนกลับจะสับสน — ดังนั้นมีเพียงฟังก์ชัน one-one เท่านั้นที่ผกผันได้
การหาอินเวอร์ส
- ในการหา $f^{-1}$: เขียน $y = f(x)$, จัดให้ $x$ เป็นตัว subject, แล้วสลับตัวอักษร
- ตัวอย่าง: $f(x) = 2x + 6$ → $x = \dfrac{y-6}{2}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$
- กราฟของ $y = f^{-1}(x)$ คือ ภาพสะท้อน ของ $y = f(x)$ ในเส้น $y = x$
ฟังก์ชันอินเวอร์สคือการสะท้อนใน $y = x$: จุด $(a, b)$ บน $f$ จะกลายเป็น $(b, a)$ บน $f^{-1}$
ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีอินเวอร์ส. $f(x) = x^2$ ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่ง (ทั้ง $2$ และ $-2$ ให้ผล $4$), ดังนั้นจึงไม่มีอินเวอร์ส เว้นแต่จะจำกัดโดเมนไว้ที่ $x \geq 0$
สำหรับ f(x) = 2x + 6 ฟังก์ชันผกผันคือ f⁻¹(x) = (x − 6)/2 ค่า f⁻¹(10) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f⁻¹(10) = (10 − 6)/2 = 4/2 = 2.
กราฟของ y = f⁻¹(x) คือการสะท้อนของ y = f(x) ในเส้นตรง:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันผกผันสะท้อนกราฟเดิมในเส้น y = x; จุด (a, b) จะกลายเป็น (b, a)
คุณสมบัติของอินเวอร์ส
- $f(f^{-1}(x)) = x$ และ $f^{-1}(f(x)) = x$ — ทำลายล้างกันเอง
- โดเมนของ $f^{-1}$ คือเรนจ์ของ $f$ และในทางกลับกัน
- ทางกราฟ: สลับแกน
- รู้จัก ฟังก์ชันประกอบ $fg(x)$ และกราฟ การแปลง — การแปล, การยืด, และการสะท้อน
การเพิ่มลงในเอาต์พุตหรืออินพุตทำให้โค้งเลื่อน; ตัวคูณทำให้ยืด
สำหรับฟังก์ชัน f ที่มีฟังก์ชันผกผัน f(f⁻¹(x)) = x
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแล้วตามด้วยฟังก์ชันผกผันจะคืนค่าอินพุตเดิม — พวกมันยกเลิกกันเอง
คุณเข้าใจแล้ว
- ฟังก์ชัน: แต่ละอินพุต → Exactlyหนึ่งเอาต์พุต; โดเมน = อินพุต, เรนจ์ = เอาต์พุต
- ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง มีอินเวอร์ส; หา $f^{-1}$ โดยการสลับและแก้สมการ
- ฟังก์ชันประกอบ $fg(x) = f(g(x))$ — ทำ $g$ ก่อน แล้วค่อย $f$
- กราฟของ $f^{-1}$ คือ ภาพสะท้อน ของ $f$ ใน $y = x$