สมการกำลังสอง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | พาราโบลา |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | กำลังสอง |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ |
| vertex/ˈvɜːteks/ | จุดยอด |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | ค่าดิสคริมิแนนต์ |
เส้นทางของลูกบอลที่ถูกโยน
- โยนลูกบอลแล้วมันจะวาดเส้น พาราโบลา — เส้นโค้งเดียวกันที่อธิบายโดยสมการกำลังสองทุกสมการ
- Galileo พิสูจน์สิ่งนี้ในปี 1638 ปัจจุบัน สมการกำลังสองปรากฏในฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรม และการหาค่าเหมาะสม
- การทำความเข้าใจมันหมายความว่าคุณสามารถหาจุดยอด, ราก, และรูปร่างของพาราโบลาใดๆ ได้
การเติมเต็มกำลังสอง
- สมการกำลังสอง คือ $ax^2 + bx + c$ (โดยมี $a \neq 0$).
- การเติมเต็มกำลังสอง เขียนใหม่เป็น $a(x+p)^2 + q$
- สิ่งนี้เปิดเผย จุดยอด (จุดเปลี่ยน) ที่ $(-p,\ q)$
- ตัวอย่าง: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → จุดยอด $(3, -4)$
การเติมเต็มกำลังสองเปิดเผยจุดยอดโดยตรง: $y = (x-3)^2 - 4$ มีค่าต่ำสุดที่ $(3, -4)$.
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. เติมเต็มกำลังสองสำหรับ $2x^2 + 8x + 3$: ดึง $2$ ออกมา: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. จุดยอด: $(-2, -5)$.
การทำกำลังสองสมบูรณ์ x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q ค่า q ขั้นต่ำคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, ดังนั้น q = −4 (ค่าน้อยสุด)
ทำกำลังสองสมบูรณ์: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q ค่า p คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, ดังนั้น p = 2
ค่าดิสคริมิแนนต์
- ค่าดิสคริมิแนนต์ คือ $\Delta = b^2 - 4ac$. มันบอกจำนวนรากจริง:
- $b^2 - 4ac > 0$ → สอง รากจริงที่แตกต่างกัน,
- $b^2 - 4ac = 0$ → หนึ่ง รากซ้ำ,
- $b^2 - 4ac < 0$ → ไม่มี รากจริง.
- สูตรกำลังสอง: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
เครื่องหมายของดิสคริมิแนนต์กำหนดจำนวนครั้งที่พาราโบลาตัดกับแกน x: สองราก, หนึ่งราก, หรือไม่มี
ดิสคริมิแนนต์อยู่ใต้รากที่สอง. ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ คุณต้องคำนวณ $\sqrt{\text{negative}}$ ซึ่งไม่มีค่าจริง — ดังนั้นพาราโบลาจะไม่เคยตัดกับ $x$-แกนเลย
สะพานแขวน: สายเคเบิลหลักห้อยตัวเป็นรูปพาราโบลา
สำรวจพาราโบลา
y = ax² + bx + c
เปลี่ยน a, b และ c เพื่อปรับรูปร่างของกราฟ — และดู จุดยอด, ราก และ จุดตัด เคลื่อนที่
สำหรับ x² + 4x + 1 = 0 จงหาค่าดิสคริมิแนนต์ b² − 4ac
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, ดังนั้นมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า)
ถ้า b² − 4ac < 0 สมการกำลังสองจะมี:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดิสคริมิแนนต์เป็นลบหมายความว่าพาราโบลามิ Never ตัดแกน x — ไม่มีรากจริง
สมการ x² + 2x + 5 = 0 มีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดิสคริมิแนนต์ = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, ดังนั้นไม่มีรากจริง
การแก้สมการกำลังสอง
- แยกตัวประกอบ: เร็วที่สุดเมื่อทำได้. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ หรือ $x = 3$.
- ทำกำลังสองสมบูรณ์: ใช้ได้เสมอ และบ่งบอกจุดยอด
- สูตรกำลังสอง: ใช้ได้เสมอ ใช้งานเมื่อแยกตัวประกอบยาก
แก้สมการ x² − 5x + 6 = 0 รากใดมีค่าน้อยกว่า?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, ดังนั้น x = 2 หรือ x = 3; ค่าน้อยคือ 2
สมการเชื่อมโยงและการสร้างแบบจำลอง
- สมการกำลังสองใช้สร้างแบบจำลอง: เส้นทางวัตถุที่ฉีกกระชาก, กราฟกำไร, เก้าอี้สะพาน, จานรับสัญญาณดาวเทียม
- จุดยอดให้ค่า สูงสุด (ถ้า $a < 0$) หรือ ต่ำสุด (ถ้า $a > 0$)
- ตัวอย่าง: ฟังก์ชันกำไร $P = -2x^2 + 40x - 150$. ค่าสูงสุดอยู่ที่ $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$
- คุณควรแก้ สมการกำลังสอง และ อสมการกำลังสอง รวมถึงคู่ของ สมการพร้อมกัน (หนึ่งเชิงเส้น, หนึ่งกำลังสอง)
คุณเข้าใจแล้ว
- ทำกำลังสองสมบูรณ์: $a(x+p)^2 + q$, จุดยอดอยู่ที่ $(-p, q)$
- ค่าดิสคริมิแนนต์ $b^2 - 4ac$ บอกจำนวนรากจริง (+ สอง, 0 หนึ่ง, − ไม่มี)
- แก้โดยใช้วิธีแยกตัวประกอบ, ทำกำลังสองสมบูรณ์, หรือ สูตรกำลังสอง
- จุดยอดให้ค่า สูงสุด หรือ ต่ำสุด ของสมการกำลังสอง