ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (เพิ่มเติม)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | ตัวแปรต่อเนื่อง |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | ค่าคาดหมาย |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม |
| median/ˈmiːdiːən/ | ค่ามัธยฐาน |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | เปอร์เซ็นไทล์ |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | ควอไทล์ |
ความน่าจะเป็นในรูปพื้นที่
- สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง — เช่น ส่วนสูง, เวลารอ — ไม่มีค่าใดค่าหนึ่งที่มีค่าความน่าจะเป็นเฉพาะเจาะจง; มีจำนวนนับไม่ถ้วน
- แทนที่จะเป็น那样, ความน่าจะเป็นคือ พื้นที่ใต้กราฟ, ฟังก์ชันความหนาของความน่าจะเป็น $f(x)$. พื้นที่ทั้งหมดคือ $1$.
ฟังก์ชันความหนาและความคาดหวัง
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, และพื้นที่รวม $\int f = 1$.
- ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันใดๆ ของ $X$:
ความน่าจะเป็นคือพื้นที่ใต้ f(x); พื้นที่รวมตลอดทั้งช่วงมีค่าเท่ากับ 1 อย่างแม่นยำ.
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นคือ พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่น
พื้นที่ทั้งหมดใต้ฟังก์ชันความหนาแน่นของโอกาสต้องเท่ากับเท่าไหร่?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
pdf จะอินทิเกรตได้ 1 ตลอดทั้งช่วง
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
- CDF จะสะสมความน่าจะเป็นจากทางซ้าย:
- มีค่าตั้งแต่ $0$ ถึง $1$ และการหาอนุพันธ์จะคืนค่าความหนาแน่น: $f(x) = F'(x)$
ฟังก์ชันการกระจายสะสม $F(x)$ เพิ่มจาก 0 ถึง 1; อ่านค่ามัธยฐานได้เมื่อระดับความสูงถึง 0.5
ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม F(x) ให้:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = P(X ≤ x), พื้นที่สะสมจนถึง x
การหาอนุพันธ์ของ CDF ให้ความหนาแน่น: f(x) = F-______(x)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
f(x) = F′(x): ความหนาแน่นคืออนุพันธ์ของ CDF
ตัวอย่างวิธีทำ — ค่ามัธยฐาน
- ค่ามัธยาน $m$ แบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วนเท่ากัน: $F(m) = 0.5$
- สำหรับ $f(x) = \tfrac12 x$ บน $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$ ดังนั้น $\tfrac14 m^2 = 0.5$ จึงให้ผลเป็น $m = \sqrt2 \approx 1.41$
ควอไทล์ทำงานด้วยหลักการเดียวกัน ควอไทล์ล่างแก้สมการ $F(x) = 0.25$; พertext percentile ที่ 90 แก้สมการ $F(x) = 0.9$* ต้องตั้ง $F$ ให้เท่ากับเศษส่วนที่ต้องการเสมอ
สำหรับ f(x) = ½x บนช่วง [0,2], F(x) = ¼x². มัธยฐานแก้สมการ ¼m² = 0.5. ค่า m คืออะไร? (2 ทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
มัธยฐาน m ของการแจกแจงแบบต่อเนื่องสอดคล้องกับ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มัธยฐานแบ่งพื้นที่ครึ่งหนึ่ง: F(m) = 0.5
ความหนาแน่นไม่ใช่ความน่าจะเป็น
$f(x)$ สามารถมีค่าเกิน 1 ได้ ความหนาแน่นไม่ใช่ความน่าจะเป็น — แต่เป็น พื้นที่ เท่านั้นยอดที่สูงและแคบอาจมีค่า $f(x) > 1$ ตราบใดที่พื้นที่รวมยังคง $1$
- ใช้ ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) เพื่อหาค่าความน่าจะเป็นและควอไทล์ รวมถึง CDF ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง
ฟังก์ชันความหนาแน่นของโอกาส f(x) สามารถมีค่ามากกว่า 1 ได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เพียงพื้นที่ต้อง ≤ 1; ความหนาแน่นเองสามารถเกิน 1 ในช่วงแคบๆ ได้
คุณเข้าใจแล้ว
- ความน่าจะเป็น = พื้นที่ใต้ $f(x)$; พื้นที่รวม $= 1$ (ความหนาแน่นเองสามารถเกิน 1 ได้)
- CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$ และ $f = F'$
- ค่ามัธยาน แก้สมการ $F(m) = 0.5$; ควอไทล์แก้สมการ $F(x) =$ ที่เศษส่วนนั้น