การเคลื่อนที่เชิงเส้นภายใต้แรงแปรผัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | แรงต้าน |
| position/pəˈzɪʃn/ | ตำแหน่ง |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | กฎโซ่ |
| separable/ˈsepərəbl/ | แยกตัวแปรได้ |
| separate/ˈseprət/ | แยกตัวแปร |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | อินทิเกรต |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขขอบเขต |
เมื่อแรงเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา
- แรงโน้มถ่วงใกล้พื้นโลกมีค่าคงที่โดยประมาณ — แต่แรงดึงดูดของดาวเคราะห์ แรงต้านลมบนรถยนต์ หรือแรงแม่เหล็ก ล้วนเปลี่ยนแปลงตาม ตำแหน่ง
- แรงที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของคุณ จำเป็นต้องใช้รูปแบบของกฎนิวตันที่ซับซ้อนกว่า
ความเร่งในฐานะฟังก์ชันของตำแหน่ง
- เมื่อแรง (และดังนั้นความเร่ง) ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง $x$, เขียนความเร่งใหม่เป็น:
- สิ่งนี้ได้มาจากกฎลูกโซ่: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
เมื่อแรงแปรผันตามตำแหน่ง งานที่ทำคือพื้นที่ใต้กราฟ F-x
งานจากแรงแปรผัน
W = ∫ F dx
เมื่อแรงเปลี่ยนไป งานที่ทำ คือ พื้นที่ ภายใต้กราฟแรง–ระยะทาง
เมื่อแรงขึ้นอยู่กับตำแหน่ง x ความเร่งเขียนได้ดีที่สุดเป็น:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — มีประโยชน์เมื่อแรงขึ้นอยู่กับ x
เอกลักษณ์ a = v dv/dx มาจากกฎ _______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx ตามกฎลูกโซ่
แปลง F = ma ให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์
- การแทนค่าจะได้ $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — ซึ่งเป็น สมการเชิงอนุพันธ์แยกตัวแปรได้ (separable differential equation) ที่เชื่อมโยง $v$ และ $x$
- แยกตัวแปร ($v\,dv$ อยู่ฝั่งหนึ่ง, $x$ อยู่อีกฝั่ง) แล้ว อินทิเกรต
เวลาที่จะเลือกใช้รูปแบบไหน แรงขึ้นอยู่กับ เวลา → ใช้ $a = \dfrac{dv}{dt}$. แรงขึ้นอยู่กับ ตำแหน่ง → ใช้ $a = v\dfrac{dv}{dx}$. การเลือกให้ถูกต้องคือชัยชนะครึ่งหนึ่งของสงคราม
การแทนที่ a = v dv/dx ลงใน F = ma จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกตัวแปรได้ใน v และ x
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = mv dv/dx แยกตัวแปรเป็น v dv และนิพจน์ของ x แล้วอินทิเกรต
แต่หากแรงขึ้นอยู่กับเวลา t รูปแบบธรรมชาติของความเร่งจะเป็น:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แรงขึ้นกับเวลา → a = dv/dt; ขึ้นกับตำแหน่ง → a = v dv/dx.
วิธีปฏิบัติ
-
- เขียน $F = ma$ พร้อม $a = v\dfrac{dv}{dx}$
-
- แยกตัวแปร: รวมพจน์ $v$ กับ $dv$, พจน์ $x$ กับ $dx$
-
- อินทิเกรตทั้งสองข้าง แล้วใช้เงื่อนไขขอบเขตเพื่อหาค่า $v$ ในฐานะฟังก์ชันของ $x$
- เมื่อแรงขึ้นอยู่กับตำแหน่ง ให้พิจารณาว่าเป็น แรงแปรผัน (variable force) ที่มี $a=v\,dv/dx$
เรียงขั้นตอนการแก้โจทย์การเคลื่อนที่ภายใต้แรงที่ขึ้นกับตำแหน่งตามลำดับ.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
ตั้งสมการด้วย v dv/dx แยกตัวแปร อินทิเกรต แล้วใช้เงื่อนไขเพื่อกำหนดค่าคงที่
คุณเข้าใจแล้ว
- สำหรับแรงที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง ให้ใช้ $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (มาจากกฎลูกโซ่)
- สิ่งนี้ทำให้ $F = ma$ เป็น สมการต่างเชิงอนุพันธ์แบบแยกตัวแปร ใน $v$ และ $x$
- แยกตัวแปร และ อินทิเกรต เพื่อหาค่า $v$ ในฐานะฟังก์ชันของ $x$