สมการเชิงอนุพันธ์ (Further Pure 2)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | สมการเชิงอนุพันธ์ |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | ตัวคูณอินทิเกรต |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | ผลเฉลยทั่วไป |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันเสริม |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | สมการช่วย |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขขอบเขต |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขเริ่มต้น |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัลเฉพาะ |
เมื่อตัวแปรonicalเป็นฟังก์ชัน
- สมการธรรมดาแก้หาค่าตัวเลข แต่ สมการเชิงอนุพันธ์ แก้หา ฟังก์ชัน ทั้งชุด — โดยกำหนดกฎเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน
- มันจำลองการเย็นลงของกาแฟ, การเติบโตของประชากร, การชาร์จคาปาซิเตอร์, และการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา
ลำดับแรกแบบเชิงเส้น: ตัวประกอบอินทิเกรต
- สำหรับ $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, คูณทั้งสองข้างด้วย ตัวประกอบอินทิเกรต:
- สิ่งนี้จะทำให้ฝั่งซ้ายยุบตัวเหลือ $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, sehingga คุณสามารถอินทิเกรตทั้งสองด้านได้โดยตรง
ตัวอย่างวิธีทำ. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. ที่นี่ $P = 2$, ดังนั้น $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. ฝั่งซ้ายจะกลายเป็น $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
สมการเชิงอนุพันธ์
dy/dx = a y
สมการกำหนด ความชัน ทุกที่; คำตอบ จะตาม slope เหล่านี้
สำหรับ dy/dx + 2y = e˘, integrating factor μ = e^(∫2 dx) คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∫2 dx = 2x, ดังนั้น μ = e^(2x)
การคูณด้วยตัวประกอบเชิงอินทิเกรตทำให้ด้านซ้ายเป็น d/dx(μy) sehinggaคุณสามารถอินทิเกรตได้โดยตรง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นี่คือหัวใจสำคัญของตัวประกอบเชิงอินทิเกรต — มันทำให้ด้านซ้ายเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์
ลำดับที่สอง, สัมประสิทธิ์คงที่
- สำหรับ $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, คำตอบทั่วไป ประกอบด้วยสองส่วน:
- ฟังก์ชันเสริม (CF) มาจาก สมการช่วย $am^2 + bm + c = 0$
สำหรับสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ คำตอบทั่วไปคือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คำตอบทั่วไป = complementary function (RHS = 0) + particular integral
อ่านรากของสมการช่วย
- รากของสมการช่วยกำหนดรูปร่างของ CF:
| ราก | ฟังก์ชันเสริม |
|---|---|
| จริงและแตกต่างกัน $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| ซ้ำ $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| ซับซ้อน $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
สมการเชิงอนุพันธ์มีครอบครัวเส้นโค้งคำตอบทั้งหมด; เงื่อนไขขอบเขตจะเลือกเส้นโค้งหนึ่ง
สำหรับ y″ − 5y′ + 6y = 0 สมการช่วย (auxiliary equation) คือ m² − 5m + 6 = 0 รากที่มากกว่าคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, ดังนั้น m = 2 หรือ 3; ค่าที่ใหญ่กว่าคือ 3
จับคู่แต่ละประเภทของรากช่วยกับฟังก์ชันเสริมที่ได้จากมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รากจริงที่ไม่ซ้ำกันให้เอ็กซ์โพเนนเชียลสองตัว; รากซ้ำเพิ่มปัจจัย x; รากเชิงซ้อนให้รูปแบบที่สั่นและปรับขนาดด้วยเอ็กซ์โพเนนเชียล
เงื่อนไขขอบเขต
- ค่าคงที่ $A, B$ ถูกกำหนดโดย เงื่อนไขขอบเขต หรือ เงื่อนไขเริ่มต้น (เช่น $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- หากไม่มีเงื่อนไขเหล่านี้จะได้ทั้งครอบครัว; มีเงื่อนไขแล้วได้เพียงเส้นโค้งเดียวที่ตรงกัน
- แก้ สมการเชิงอนุพันธ์ ด้วย การแทนค่า หรือ ตัวแปรแยก, แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหา คำตอบเฉพาะ
ค่าคงที่สุ่ม A และ B ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข ______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เงื่อนไขขอบเขตหรือเงื่อนไขเริ่มต้น (เช่น y(0) = 1) กำหนดค่า A และ B
คุณเข้าใจแล้ว
- ลำดับแรกเชิงเส้น: คูณด้วย $\mu = e^{\int P\,dx}$, แล้วอินทิเกรต
- ลำดับสอง: ฟังก์ชันทั่วไป = ฟังก์ชันเสริม + อินทิกรัลเฉพาะ
- F.I. มาจาก สมการช่วย; เงื่อนไขขอบเขตกำหนดค่าคงที่