จำนวนเชิงซ้อน (Further Pure 2)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทเดโมวัวร์ |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | รูปแบบเชิงขั้ว |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | อาร์กิวเมนต์ |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | โมดูลัส |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | ส่วนจินตภาพ |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | รากของเอกภาพ |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | วงกลมหน่วย |
การยกกำลัง วิธีที่ง่าย
- หากจะคำนวณ $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ ด้วยวิธียาวๆ คุณต้องคูณกันสิบครั้ง
- ทฤษฎีบทเดอมัวฟร ทำได้ในบรรทัดเดียว — และเป็นผลพลอยได้อีกอย่าง มันแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน
ทฤษฎีบทเดอมัวฟร
- จำนวนเชิงซ้อนใน รูปขั้ว: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- ทฤษฎีบทเดอมัวฟร — สำหรับจำนวนเต็มใดๆ $n$:
- การยกกำลัง คูณพารามิเตอร์ด้วย $n$ (และคูณโมดูลัสด้วย $r^n$).
จำนวนเชิงซ้อน
z = x + yi
วาด z เป็น จุด: ระยะห่างจาก O คือ modulus, มุมคือ argument
ทฤษฎีบท de Moivre ระบุว่า (cos θ + i sin θ)ⁿ เท่ากับ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ยกกำลัง n จะทำให้ argument คูณด้วย n: cos nθ + i sin nθ
การกระจายมุมหลายเท่า
- เปรียบเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ จะได้เอกลักษณ์
- ตัวอย่างวิธีทำ: ส่วนจริงของกำลังสามจะได้ $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
ใช้ de Moivre, cos 3θ ดัดแปลงออกมาเป็น:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นำส่วนจริงของ (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ
รากของเอกฐาน
- สมการ $z^n = 1$ มีคำตอบที่แน่นอน $n$ คำ — คือ $n$ รากของเอกฐาน
- พวกมันอยู่บน วงกลมหน่วย โดยกระจายตัวเท่ากัน $\dfrac{360^\circ}{n}$ ห่างกัน เริ่มจาก $1$
คำตอบทั้งห้าของ $z^5 = 1$ ตั้งอยู่บนวงกลมหน่วย, $72^\circ$ ห่างกัน — เป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่สมบูรณ์แบบ
ทำไมจึงกระจายเท่ากัน? แต่ละรากมีโมดูลัส $1$ และพารามิเตอร์ $\dfrac{360^\circ k}{n}$ สำหรับ $k = 0, 1, \dots, n-1$ —ดังนั้น รากที่ติดกันจะต่างกันด้วยมุมเดียวกัน
สมการ z⁵ = 1 มีรากของเอกฐาน (roots of unity) ที่แตกต่างกันกี่ค่า?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
zⁿ = 1 มีราก tepat n ราก เรียงห่างกันเท่าๆ บนวงกลมหน่วย; ที่นี่ n = 5
รากที่ห้าของSentunity เรียงตัวเท่ากันบนวงกลมหน่วย ระยะห่างระหว่างรากที่ติดกันเป็นกี่องศา?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
360°/5 = 72° ระหว่างรากที่ติดกัน
รากที่ n ของเอกฐานเรียงห่างกันเท่าๆ รอบวงกลมหน่วย
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พวกมันอยู่ห่างกันเป็นช่องว่างมุมเท่าๆ กัน 360°/n รอบวงกลม
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
ทฤษฎีบทเดอมัวฟรต้องใช้รูปขั้วก่อน $(1 + i)^8$ ไม่ใช่ $1^8 + i^8$ — แปลง $1+i$ ให้เป็น $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ด้วย $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, แล้ว จึงใช้ทฤษฎีบท
- การรวมอนุกรมของ $\cos$/$\sin$ พจน์ ใช้ผลบวกเชิงซ้อน $C + \mathrm{i}S$ ของ จำนวนเชิงซ้อน
ก่อนใช้ de Moivre กับ (1 + i)⁸ คุณต้องเขียน 1 + i ก่อนในรูป ______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แปลงเป็น r(cosθ + i sinθ) ก่อน แล้วจึงยกกำลัง
คุณเข้าใจแล้ว
- เดอมัวฟร: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- มันกระจายมุมหลายเท่า เช่น $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- $n$ รากของเอกฐาน กระจายเท่ากัน $\dfrac{360^\circ}{n}$ บนวงกลมหน่วย