การอินทิเกรต (Further Pure 2)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | อินทิกรัล |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | รูปแบบมาตรฐาน |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | การแทนค่า |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | ไฮเปอร์บอลิก |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | ตรีโกณมิติ |
| surd/sɜːd/ | รากที่สอง |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | สูตรลดรูป |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | ความยาวส่วนโค้ง |
อินทิกรัลที่สู้กลับ
- บางอินทิกรัลไม่มีฟังก์ชันต้นแบบที่ชัดเจน — จนกว่าคุณจะพบ รูปแบบมาตรฐาน หรือ การแทนค่า ที่เหมาะสม
- Further Pure 2 มอบเครื่องมือให้คุณ: อินทิกรัลมาตรฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน, การแทนค่าตรีโกณมิติ/ไฮเปอร์โบลิก, และสูตรลดรูป
อินทิกรัลมาตรฐาน
- ผลลัพธ์สองข้อ值得จดจำ:
- จับคู่อินทิกรัลกับรูปแบบ อ่านค่า $a$ และเขียนคำตอบ
อินทิกรัล_examplesวัดพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
พื้นที่ใต้กราฟ
area = ∫ f(x) dx
ทุกอินทิกรัลวัด พื้นที่ ภายใต้กราฟ — ลากขอบเขต
∫ 1/(a² + x²) dx เท่ากับอะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นี่คืออินทิกรัล inverse-tangent มาตรฐาน
∫ 1/√(4 − x²) dx เท่ากับอะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อ a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C
จับคู่แต่ละอินทิกรัลกับผลลัพธ์ของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สองข้อแรกเป็นรูปแบบมาตรฐาน inverse-trig; ∫1/x dx = ln|x| + C
การแทนที่
- การแทนค่า ตรีโกณมิติ ($x = a\sin\theta$ หรือ $x = a\tan\theta$) เปลี่ยนตัวหารที่มีรากที่สองหรือพหุนามกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า
- การแทนค่า ไฮเปอร์โบลิก ($x = a\sinh u$) ใช้จัดการกับ $\sqrt{a^2 + x^2}$
ตัวอย่างวิธีทำ. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. ที่นี่ $a^2 = 9$, ดังนั้น $a = 3$: คำตอบคือ $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
ใน ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C ค่า a คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a² = 9 ดังนั้น a = 3; อินทิกรัลคือ (1/3)tan⁻¹(x/3) + C
สูตรลดรูป
- สูตรลดรูป เชื่อมโยงอินทิกรัล $I_n$ กับอินทิกรัลระดับต่ำกว่า $I_{n-1}$ (หรือ $I_{n-2}$)
- ใช้ซ้ำๆ เพื่อ "ลด" ลงไปจนถึงกรณีพื้นฐานที่สามารถอินทิเกรตได้โดยตรง
อย่าลืมขอบเขต สำหรับอินทิกรัล_examples พจน์ขอบเขตในสูตรลดรูปจะถูกคำนวณที่ขอบเขตทุกครั้ง — ซึ่งเป็นจุดที่มักพลาดเครื่องหมายหรือตัวคูณ
สูตรลดระดับ (reduction formula) เชื่อมโยงอินทิกรัล Iₙ กับ Iₙ₋₁ เพื่อให้คุณคำนวณลงทีละขั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สูตรลดระดับแสดงอินทิกรัลที่มีดัชนีสูงกว่าใน terms ของ инทิกรัลที่มีดัชนีต่ำกว่า
การประยุกต์ใช้
- การอินทิเกรตยังวัดความยาวของเส้นโค้งเองได้ด้วย:
- ความยาวส่วนโค้ง: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- พื้นที่ผิวจากการหมุน: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- อินทิเกรตโดยใช้ การแทนค่าตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก, และการ ทำให้เป็นกำลังสมบูรณ์ ในตัวส่วน
ความยาวส่วนโค้ง (arc length) คืออินทิกรัลของ √(1 + (______)²) dx
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความยาวส่วนโค้ง s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx
คุณเข้าใจแล้ว
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- ใช้ การแทนค่าตรีโกณมิติ/ไฮเปอร์โบลิก สำหรับรากที่สองและตัวส่วนที่เป็นพหุนามกำลังสอง
- สูตรลดรูป ลด $I_n$ ลงมาเหลือ $I_{n-1}$; การอินทิเกรตยังให้ ความยาวส่วนโค้ง และ พื้นที่ผิว