การหาอนุพันธ์ (Further Pure 2)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | พหุนาม |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | อนุกรมแมคลอเรน |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | การหาอนุพันธ์ |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | ไฮเปอร์บอลิก |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | ช่วงของการลู่เข้า |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | ลู่แยก |
เครื่องคิดเลขหา eˣ ได้อย่างไร?
- เครื่องคิดเลขของคุณไม่สามารถ "ทำ" $e^{0.7}$ ได้โดยตรง — ไม่มีปุ่มกดที่รู้มัน
- แทนที่จะทำอย่างนั้น มัน รวมพจน์ของพหุนามบางพจน์ ที่เลียนแบบ $e^x$ ใกล้ศูนย์
- พหุนามนั้นคือ อนุกรม Maclaurin — และการสร้างมันเริ่มต้นด้วยการหาอนุพันธ์ซ้ำๆ
อนุพันธ์ใหม่ที่ต้องรู้
- Further Pure 2 เพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ไฮเพอร์โบลิก และ ย้อนกลับ:
| ฟังก์ชัน | อนุพันธ์ |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- คุณยังสามารถหา $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ สำหรับ เชิงลัด (implicit) และ พารามิتر (parametric) curves ได้
แต่ละพจน์ Maclaurin เพิ่มเติมโอบกอด e^x ในช่วงที่กว้างขึ้น
ความชันที่จุดหนึ่ง
gradient = dy/dx
อนุพันธ์ คือความชันของ เส้นสัมผัส ไม่ว่าฟังก์ชันนั้นจะซับซ้อนแค่ไหน
อนุพันธ์ของ sinh x คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(sinh x) = cosh x (และ d/dx(cosh x) = sinh x)
อนุพันธ์ของ tan⁻¹x คือ 1/(1+x²) ค่านี้ที่ x = 0 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1/(1+0²) = 1.
จับคู่ฟังก์ชันแต่ละตัวกับอนุพันธ์ของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
คู่ forecast hyperbolic สลับกัน (ไม่มีเครื่องหมายลบ ต่างจาก sin/cos); อนุพันธ์ของ inverse trig คือรูปแบบ rational/surd มาตรฐาน
อนุกรม Maclaurin
- อนุกรม Maclaurin สร้างฟังก์ชันกลับเป็นพหุนามอนันต์โดยใช้ค่าอนุพันธ์ที่ $0$:
- แต่ละสัมประสิทธิ์ต้องการอนุพันธ์ถัดไป, ประเมินที่ $x = 0$
ในอนุกรม Maclaurin พจน์คงที่คือ f(0) สำหรับ f(x) = eˣ ค่า f(0) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e⁰ = 1 ดังนั้นพจน์คงที่คือ 1
ในอนุกรม Maclaurin ค่าสัมประสิทธิ์ของ xⁿ มี n-factorial (เขียนว่า n!) อยู่ใน ______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พจน์ xⁿ คือ f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — n! อยู่บนส่วนหาร
ตัวอย่างวิธีทำ — อนุกรมสำหรับ eˣ
- สำหรับ $f(x) = e^x$, ทุกอนุพันธ์คือ $e^x$, และ $e^0 = 1$. ดังนั้น setiapสัมประสิทธิ์คือ $\dfrac{1}{n!}$:
แต่ละพจน์เพิ่มเติมทำให้พหุนามโค้งเข้าใกล้ $e^x$ มากขึ้นใกล้ $x = 0$ — ถูกต้องตามที่เครื่องคิดเลขทำงาน.
อนุกรมมาตรฐานเพิ่มเติม. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ และ $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (ใช้ได้สำหรับ $|x| < 1$).
อนุกรม Maclaurin ของ eˣ เริ่มด้วย:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
的地方 where อนุกรมใช้ได้
- อนุกรม Maclaurin จะจับคู่กับฟังก์ชันภายใน ช่วงการลู่เข้า (interval of convergence) เท่านั้น
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ ลู่เข้าสำหรับ ทั้งหมด $x$; แต่ $\ln(1+x)$ ใช้ได้เฉพาะสำหรับ $-1 < x \leq 1$.
ตรวจสอบการลู่เข้าก่อนที่คุณจะเชื่อถือมัน. ห่างไกลจากช่วงที่ใช้ได้ พหุนามจะเบี่ยงเบนอย่างรุนแรงจากฟังก์ชัน — พจน์越多越 * بد worse, not better.
- หาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก และฟังก์ชันย้อนกลับ, และความสัมพันธ์ที่กำหนด เชิงลัด หรือ พารามิเตอร์
อนุกรม Maclaurin ของ ln(1+x) ใช้ได้สำหรับทุกค่าของ x
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันลู่เข้า (converge) เฉพาะเมื่อ −1 < x ≤ 1; นอกช่วงนั้นมันลู่ไม่เข้า (diverge)
คุณเข้าใจแล้ว
- อนุพันธ์ใหม่: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — พจน์越多越好 fit, within the interval of convergence