เมทริกซ์ (Further Pure 2)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | การยืด |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | เวกเตอร์เฉพาะ |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | ค่าเฉพาะ |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | สมการเมทริกซ์ |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | สมการเฉพาะ |
| scalar/ˈskeɪlə/ | สเกลาร์ |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | เมทริกซ์ทแยงมุม |
ทิศทางที่ซ่อนอยู่ในเมทริกซ์
- เมทริกซ์ทุกตัวแปลงพื้นที่ ทิศทางบางทิศทางเป็นพิเศษ: เมทริกซ์เพียง ยืด ทิศทางเหล่านี้โดยไม่หมุน ทิศทางเหล่านี้คือ เวกเตอร์เฉพาะ (eigenvectors) และปัจจัยการยืดคือ ค่าเฉพาะ (eigenvalues)
- ค่าเฉพาะเปิดโครงสร้างของเมทริกซ์ —它们是对角化、稳定性分析和谷歌PageRank算法的关键。
สมการเมทริกซ์
- สามสมการเชิงเส้นในสามตัวแปร → สมการเมทริกซ์ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. เมทริกซ์ที่ไม่singular $A$ ให้คำตอบเดียวที่แน่นอน: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
ตัวอย่างวิธีทำ. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. แก้: $2x + y = 5$ และ $x + 3y = 7$. คำตอบ: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
เวกเตอร์เฉพาะคงทิศทางภายใต้เมทริกซ์; เวกเตอร์ทั่วไปถูกหมุน
เมทริกซ์ (Further Pure 2)
(x', y') = M(x, y)
การหมุน การสะท้อน และการบิดตัวทั้งหมดเป็นเมทริกซ์ — อ่านค่าได้จากรูปแบบฐานหลังการแปลง
ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ
- สมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) $\det(A - \lambda I) = 0$ ให้ ค่าเฉพาะ $\lambda$.
- สำหรับแต่ละ $\lambda$, เวกเตอร์เฉพาะ $\mathbf{v}$ สอดคล้องกับ $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- การคูณเวกเตอร์เฉพาะด้วย $A$ จะ ยืด เท่านั้น (ด้วยปัจจัย $\lambda$), โดยไม่เปลี่ยนทิศทาง
เวกเตอร์เฉพาะไม่ใช่เอกลักษณ์. ถ้า $\mathbf{v}$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะ,那么 $k\mathbf{v}$ ก็เป็นสำหรับสเกลาร์ใด ๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ $k$. เรามักเลือกรูปแบบที่ง่ายที่สุด (จำนวนเต็มเล็กสุด).
เมทริกซ์ [[2,1],[1,2]] มีสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) เป็น (2−λ)² − 1 = 0 ซึ่งให้ λ = 1 หรือ λ = 3 ค่า eigenvalue ที่มากกว่าคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 หรือ 3; ค่าที่มากกว่าคือ 3
ค่า eigenvalues ของเมทริกซ์ A หาได้โดยการแก้:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สมการลักษณะเฉพาะ det(A − λI) = 0 ให้ค่า eigenvalues
การคูณ eigenvector ด้วย A เพียงแต่ยืดมันออก (Av = λv)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eigenvector คงทิศทางเดิมไว้; A เพียงแต่ปรับขนาด它以 eigenvalue λ
หาก v เป็น eigenvector ของ A แล้ว 2v ก็เป็น eigenvector ของ A เช่นกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eigenvectors ไม่เป็นเพียงหนึ่งเดียว — สเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์เท่าใดของ eigenvector ก็ยังเป็น eigenvector
การทำให้เป็นเมทริกซ์แนวตั้งฉาก (Diagonalisation)
- คุณสามารถเขียน $A = QDQ^{-1}$, โดยที่ $D$ เป็น เมทริกซ์แนวตั้งฉาก ของค่าเฉพาะและคอลัมน์ของ $Q$ คือเวกเตอร์เฉพาะ
- สิ่งนี้ทำให้การคำนวณ $A^n$ ง่ายขึ้น: $A^n = QD^nQ^{-1}$, และ $D^n$ простоเป็นสมาชิกแนวตั้งฉากยกกำลัง $n$
ในการทำ diagonalisation A = QDQ⁻¹ เมทริกซ์ D จะประกอบด้วย:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
D เป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มี eigenvalues ของ A บนเส้นทแยงมุมหลัก
ถ้า A = QDQ⁻¹ แล้ว A³ = QD³Q⁻¹ ถ้า D มีองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 และ 3 แล้ว D³ จะมีองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 และ ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
D³ มีองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมเป็น 1³ = 1 และ 3³ = 27
ตัวอย่างวิธีทำ
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. สมการลักษณะเฉพาะ: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ หรือ $3$.
- สำหรับ $\lambda = 1$: เวกเตอร์เฉพาะ $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. สำหรับ $\lambda = 3$: เวกเตอร์เฉพาะ $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์มี ความ singular (它是singular且没有逆矩阵).
คุณเข้าใจแล้ว
- ค่าเฉพาะ แก้ $\det(A - \lambda I) = 0$; เวกเตอร์เฉพาะ สอดคล้องกับ $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- การคูณเวกเตอร์เฉพาะด้วย $A$ จะ ยืด เท่านั้น
- ทำให้เป็นแนวตั้งฉาก: $A = QDQ^{-1}$ (D = ค่าเฉพาะ, คอลัมน์ของ Q = เวกเตอร์เฉพาะ)