ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

เส้นโค้งที่ห้อยจากสายโซ่

• สายโซ่ที่ห้อยอยู่สร้างรูปทรง คาเทนนารี (catenary) — ไม่ใช่พาราโบลา แต่เป็นกราฟของ $\cosh x$
• ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก สร้างขึ้นจากเลขยกกำลังและปรากฏอยู่ทุกที่: สะพานแขวน, สายส่งไฟฟ้า และแม้แต่รูปร่างของเอกภพในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

นิยาม

• สร้างขึ้นจากฟังก์ชันเลขยกกำลัง:

cosh และ sinh คือค่าเฉลี่ยและครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่าง e^x และ e^-x

อีควอชัณน์สำคัญ

• อีควอชัณน์หลัก: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (เปรียบเทียบกับ $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$).
• การบวก: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.

สายเคเบิลที่ห้อยลงสร้างเป็นคาเตนารี, เส้นโค้งของโคไซน์ไฮเพอร์โบลิก y = a cosh(x/a)

อนุพันธ์

• $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (ไม่มีเครื่องหมายลบ!).
• $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.

ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกย้อนกลับ

• รูปแบบย้อนกลับ เป็นรูป logarithmic:
  • $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
  • $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ สำหรับ $x \geq 1$.

คุณเข้าใจแล้ว