พิกัดขั้ว
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | เดอคาร์ต |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | พิกัดขั้ว |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | ความสมมาตรหมุน |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | เส้นหัวใจ |
| sector/ˈsektə/ | ภาควงกลม |
ระบบพิกัดที่ช่วยทำให้วงกลมง่ายขึ้น
- การอธิบายเกลียวหรือวงกลมในพิกัดคาร์ทีเซียนต้องใช้สมการที่วุ่นวาย ใน พิกัดขั้ว, วงกลมคือ $r = \text{constant}$ เพียงอย่างเดียว
- พิกัดขั้วเป็นธรรมชาติสำหรับสิ่งที่มีสมมาตรการหมุน — ตั้งแต่วงโคจรดาวเคราะห์ไปจนถึงหน้าจอรอดาร์
พิกัดขั้ว
- พิกัดขั้ว กำหนดจุดด้วยระยะทาง $r$ จากจุดกำเนิด และมุม $\theta$
- เชื่อมโยงกับ คาร์ทีเซียน:
ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. จุด $(r, \theta) = (5, 60°)$ ในคาร์ทีเซียน: $x = 5\cos 60° = 2.5$, $y = 5\sin 60° = 4.33$ ดังนั้นจุดนี้คือ $(2.5, 4.33)$
พิกัดขั้ว $(r,\theta)$ แปลงเป็นคาร์ทีเซียนโดย $x=r\cos\theta$ และ $y=r\sin\theta$
บันได spiral: เกลียวถูกอธิบายได้อย่างเป็นธรรมชาติในพิกัดขั้ว (r, theta)
พิกัดขั้ว
r = f(θ)
ในรูปขั้ว จุดหนึ่งคือ (r, θ) โฉดงามอันสวยงาม — รอด, คาร์ดิอยด์, สไปรัล — มาจากรูปสมการ r = f(θ)
ในพิกัดขั้ว ค่า x-coordinate หาได้จาก:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
x = r cos θ และ y = r sin θ
แปลง (r, θ) = (5, 60°) เป็นพิกัดเดคาร์ตesian What is x = r cos 60°?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x = 5 cos 60° = 5 × 0.5 = 2.5
สำหรับจุด (3, 4) ในพิกัดเดคาร์ตesian, r² = x² + y² จงหา r²
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
ลูคัสในพิกัดขั้ว
- ลูคัสในพิกัดขั้วทั่วไป:
r = 4cos θ เป็นวงกลมรัศมี 2 ที่มีศูนย์กลางที่ (2, 0) — รูปแบบขั้วทำให้มันเป็นสมการบรรทัดเดียว
- $r = a$ — วงกลมที่มีรัศมี $a$ จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด.
- $r = a\cos\theta$ — วงกลมที่มีรัศมี $\dfrac{a}{2}$ จุดศูนย์กลางอยู่ที่ $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — คาร์ดิอยด์ (รูปหัวใจ).
โค้งขั้ว r = 4cos θ เป็นวงกลม มีรัศมียาวเท่าใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r = 4cos θ ให้ x² + y² = 4x, หรือ (x−2)² + y² = 4 — วงกลมที่มีรัศมี 2
โค้งขั้ว r = a(1 + cos θ) เรียกได้ว่า:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
r = a(1 + cos θ) วาดเส้นโค้งรูปหัวใจเรียกว่า คาร์ดิอยด์
พื้นที่ขั้ว
- พื้นที่ sektor: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
อย่าลืม $\dfrac{1}{2}$. สูตรพื้นที่ขั้วมีปัจจัย $\dfrac{1}{2}$ ที่ง่ายต่อการหลงลืม ซึ่งมาจากพื้นที่ของsectorสามเหลี่ยมบางๆ: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
คาร์ดิอยด์ r = 1 + cos theta, เส้นโค้งที่วาดโดยตรงในรูปขั้ว
พื้นที่ของ sektor ขั้วคือ ½∫r² dθ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นี่คือสูตรพื้นที่ขั้วมาตรฐาน
การแปลงเส้นโค้ง
- ตัวอย่าง: $r = 4\cos\theta$ → คูณด้วย $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, เป็นวงกลมรัศมี $2$.
คุณเข้าใจแล้ว
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- พื้นที่ของส่วนขั้ว $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ เป็นวงกลมที่มี รัศมี 2 เซนติเมตร และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2, 0)$