เวกเตอร์ (Further Pure 1)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | ระนาบ |
| skew/skjuː/ | ไม่ตัดกัน |
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | ผลคูณเวกเตอร์ |
| normal vector/ˈnɔːml ˈvektə/ | เวกเตอร์ปกติ |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ตั้งฉาก |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน |
| anti-commutative/ˈænti ˈkɒmjuːtətɪv/ | สลับเครื่องหมาย |
คณิตศาสตร์ของพื้นที่ 3D
- เราจะหาระยะห่างจากจุดไปยังระนาบได้อย่างไร? มุมระหว่างพื้นผิวสองพื้นผิว? หรือเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างเส้นตรงที่ไม่ตัดกัน?
- ระนาบและผลคูณเวกเตอร์ ช่วยให้คุณมีเครื่องมือในการแก้ปัญหาทั้งหมดนี้ — ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับวิศวกรรม สถาปัตยกรรม และกราฟิกคอมพิวเตอร์
สมการของระนาบ
- ระนาบ สามารถเขียนได้ในหลายรูปแบบ:
เวกเตอร์ปกติ n ตั้งฉากกับระนาบ; รูปแบบผลคูณสเกลาร์คือ n·r = d
- ระบบพิกัดคาร์ทีเชียน: $ax + by + cz = d$
- เวกเตอร์: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (โดยที่ $\mathbf{n}$ คือเวกเตอร์ปกติ)
- พารามิเตอร์: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
ตัวอย่างวิธีทำ. ระนาบหนึ่งมีเวกเตอร์ปกติ $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ และผ่านจุด $(1, 0, 2)$. สมการ: $2x - y + 3z = 2(1) - 0 + 3(2) = 8$.
เวกเตอร์
a · b = |a||b|cos θ
ผลคูณสเกลาร์ เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์สองตัว ตั้งฉากกัน
ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวกเตอร์สามารถหาระยะทางสั้นที่สุดระหว่างเส้นตรงที่ตัดกันในอวกาศสามมิติได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ผลคูณเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณระยะทาง มุม และการตัดกันใน 3D รวมถึงระยะทางระหว่างเส้นตรงที่ตัดกันในอวกาศ
ระนาบมีสมการ 2x − y + 3z = 8 เวกเตอร์ปกติมีองค์ประกอบ (2, −1, ?) จงหาองค์ประกอบที่หายไป
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สัมประสิทธิ์ของ x, y, z ใน ax + by + cz = d ให้เวกเตอร์ปกติ (a, b, c) = (2, −1, 3)
ผลคูณเวกเตอร์ (ผลคูณไขว้)
- ผลคูณเวกเตอร์ $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่ ตั้งฉากกับทั้งสอง
- ความยาวของมันเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่ถูกสร้างโดย $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$
ลำดับมีความสำคัญ. $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$. ผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบ สลับที่ไม่ได้ — การสลับลำดับจะเปลี่ยนทิศทาง
แรงเช่นลมและน้ำเป็นเวกเตอร์ ซึ่งมีทั้งขนาดและทิศทาง
ผลคูณเวกเตอร์ a × b ให้เวกเตอร์ที่เป็น:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a × b ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์; ความยาวของมันคือ |a||b|sin θ
ขนาด |a × b| เท่ากับ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = |a||b|sin θ, ซึ่งเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ผลคูณเวกเตอร์เป็นคอมมิวตาทีฟ: a × b = b × a
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ผลคูณเวกเตอร์เป็นแอนติ-คอมมิวตาทีฟ: a × b = −(b × a) การสลับลำดับจะกลับทิศทาง
ถ้า |a| = 3, |b| = 4, และมุมระหว่างมันคือ 30°, |a × b| = |a||b|sin θ จงหาค่า
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = 3 × 4 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6
การประยุกต์ใช้
- ด้วยผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวกเตอร์: ระยะทาง, มุม, จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ, และ ระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างเส้นตรงที่ไม่ตัดกัน
- ระยะห่างจากจุดถึงระนาบ: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์; ความยาวของมันคือพื้นที่ของรูปขนาน
การหาเวกเตอร์ปกติ
- เวกเตอร์ปกติของระนาบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์สองตัว $\mathbf{b}$ และ $\mathbf{c}$ คือ $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$
- นี่คือวิธีที่รวดเร็วที่สุดในการหาค่าสมการคาร์ทีเซียนจากรูปแบบพารามิเตอร์
คุณเข้าใจแล้ว
- ระนาบ: $ax + by + cz = d$ หรือ $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$
- ผลคูณเชิงเวกเตอร์ $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ตั้งฉากกับทั้งสอง; $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ = พื้นที่ของรูปขนาน
- ใช้สำหรับคำนวณระยะห่าง มุม จุดตัด และระยะห่างระหว่างเส้นตรงที่ไม่ตัดกันและไม่ขนานกัน