เมทริกซ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | เมทริกซ์ |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | การแปลง |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | เมทริกซ์เอกลักษณ์ |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | ดีเทอร์มิแนนต์ |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | อินเวอร์ส |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | เอกฐาน |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | ไม่แปรเปลี่ยน |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | การขยาย |
คณิตศาสตร์ที่ขับเคลื่อนกราฟิกคอมพิวเตอร์
- ทุกครั้งที่คุณหมุนภาพบนโทรศัพท์ การคูณเมทริกซ์กำลังทำงานอยู่เบื้องหลัง
- เมทริกซ์ คือภาษาของการแปลง — มันอธิบายการหมุน การสะท้อน การยืด และการฉายในวัตถุที่กระชับเพียงชิ้นเดียว
เมทริกซ์พื้นฐาน
- เมทริกซ์ คือตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าของตัวเลข คูณแถว × คอลัมน์
- เมทริกซ์ เอกลักษณ์ $I$ ทำให้เมทริกซ์อื่นไม่เปลี่ยนแปลง: $AI = IA = A$
ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$
เมทริกซ์
(x', y') = M(x, y)
เมทริกซ์ แปลง ระนาบ; ดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือตัวคูณสเกลพื้นที่ (ค่าลบ = การพลิก)
คูณ [[1, 2], [3, 4]] ด้วย [[5], [6]] Entry บนสุดของผลลัพธ์คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
เรียงขั้นตอนในการหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ 2x2 [[a,b],[c,d]] ให้ถูกต้อง
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
อินเวอร์สคือ (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — สลับแนวทแยง, เปลี่ยนเครื่องหมายนอกแนวทแยง, หารด้วย det
ดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์ส
- สำหรับ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: ดีเทอร์มิแนนต์ คือ $\det A = ad - bc$
- ถ้า $\det A \neq 0$ (ไม่ใช่เมทริกซ์เอกฐาน), อินเวอร์ส คือ $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
เมทริกซ์เอกฐานไม่มีอินเวอร์ส ถ้า $\det A = 0$, เมทริกซ์นั้นเป็น เอกฐาน — มันบีบระนาบให้เหลือเส้นตรง ทำให้องค์ข้อมูลหายไปที่ไม่สามารถกู้คืนได้อีก
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ [[3, 1], [2, 4]] คืออะไร (ad − bc)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10
เมทริกซ์ขนาด 2×2 จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์มีค่า:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมทริกซ์ที่ไม่ выроณะ (det ≠ 0) เป็นอินเวอร์เทเบิล; det = 0 หมายความว่า выроณะ (ไม่มีอินเวอร์ส)
สำหรับ A = [[3, 1], [2, 4]] ที่มี det = 10, entry บนซ้ายสุดของ A⁻¹ คือ d/det จงหาค่า
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. บนซ้ายสุด = 4/10 = 0.4
เมทริกซ์ในฐานะการแปลง
- เมทริกซ์ $2\times2$ แทน การแปลง ของระนาบ; $\det A$ = ปัจจัยมาตราส่วนพื้นที่
เมทริกซ์ 2x2映射สี่เหลี่ยมหน่วยให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน; ดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือปัจจัยมาตราส่วนพื้นที่
- ผลคูณ $AB$ หมายความว่า "ทำ $B$, แล้วทำ $A$" จุด/เส้นที่ไม่เคลื่อนที่เรียกว่า คงที่
สำหรับเมทริกซ์การแปลง ดีเทอร์มิแนนต์ให้:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวคูณที่พื้นที่ถูกขยายหรือหดด้วยการแปลง
สำหรับเมทริกซ์ A และ B, hasil kali AB หมายความว่า "ทำ B ก่อน แล้วจึงทำ A"
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การคูณเมทริกซ์ใช้แบบขวาไปซ้าย: AB(x) = A(B(x)), ดังนั้น B จะกระทำก่อน
การแปลงทั่วไป
| เมทริกซ์ | การแปลง |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | การสะท้อนในแกน $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | หมุน $90°$ ทวนเข็มนาฬิกา |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | การขยายด้วยอัตราส่วน $k$ |
- รู้จัก การบวกเมทริกซ์, เมทริกซ์ศูนย์, เมทริกซ์เอกลักษณ์ (หรือเมทริกซ์หน่วย), และ จุดคงที่ และ เส้นคงที่ ของการแปลง
คุณเข้าใจแล้ว
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; มีอินเวอร์สเมื่อ $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- เมทริกซ์คือการ แปลง; $\det$ = ปัจจัยมาตราส่วนพื้นที่; $AB$ = "ทำ $B$, แล้วทำ $A$"