ผลรวมของอนุกรม

คำศัพท์

English	ความหมาย
summation/sʌˈmeɪʃn/	ผลบวก
method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/	วิธีผลต่าง
telescope/ˈtelɪskəʊp/	การลดรูปแบบเทเลสโคป
converge/kənˈvɜːdʒ/	ลู่เข้า
sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/	ผลบวกอนันต์
partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	เศษส่วนย่อย

ผลบวกที่เกาส์แก้ได้ในวัย 10 ปี

ครูเด็กเกาส์มอบโจทย์ให้นักเรียนรวม $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ โดยคาดหวังว่าพวกเขาจะใช้เวลาทำงานนานหนึ่งชั่วโมง เกาส์เห็นลวดลายทันที: จับคู่ตัวแรกกับตัวสุดท้าย ($1 + 100 = 101$), ตัวที่สองกับตัวรองสุดท้าย ($2 + 99 = 101$), และ seterusnya — ได้ 50 คู่ ค่าผลรวมแต่ละคู่คือ 101 = 5050
สูตรผลบวก เปลี่ยนการบวกที่ยาวนานให้ง่ายขึ้นเป็นพีชคณิต

ผลลัพธ์มาตรฐานของการผลบวก

$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1),$$

$$\sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$

Example

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$

การรวมเลข 1 ถึง n โดยการจับคู่ปลายทั้งสองด้าน: ผลรวมคือ n(n+1)/2

สำรวจ

Sₙ = Σ uₖ

บวกพจน์ทีละตัว — ผลรวมย่อย จะพุ่งเข้าหาขีดจำกัด

ฝึกฝน

ใช้ Σr = ½n(n+1), ผลบวกของจำนวนเต็ม 5 ตัวแรกคืออะไร?

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

ใช้ Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), ผลบวกของกำลังสอง 3 ตัวแรกคืออะไร?

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

ใช้ Σr³ = ¼n²(n+1)², ผลบวกของกำลังสาม 3 ตัวแรกคืออะไร?

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

เติมผลลัพธ์มาตรฐาน: Σr (จาก 1 ถึง n) = ______ n(n+1)

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

การแยกผลบวก

แยกผลบวกออกเป็นส่วนมาตรฐานต่างๆ:
$\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.

Watch out

$\sum r^3 = (\sum r)^2$. อีควอیشنสวยงามนี้หมายความว่าผลบวกของลูกบาศก์เท่ากับกำลังสองของผลบวกจำนวนเต็ม $n$ ตัวแรก ยืนยันได้ง่าย: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$

ฝึกฝน

Σ(2r+1) จาก r=1 ถึง n = n(n+2) สำหรับ n=4 จงหาผลรวม

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

วิธีผลต่าง

หากพจน์แต่ละตัวคือ $f(r) - f(r+1)$, ส่วนใหญ่จะ หักล้างกัน (เกิดแบบ Telescoping)
จากผลบวกถึง $n$ พจน์ คุณสามารถดูได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า และหา ผลบวกอนันต์ ของมันได้

ฝึกฝน

ในวิธีผลต่าง หากแต่ละพจน์คือ f(r) − f(r+1), ส่วนใหญ่จะตัดกัน ( telescope )

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

Σ 1/(r(r+1)) จาก r=1 ถึง ∞ หักล้างกันเองได้เป็น 1 − 1/(n+1) เมื่อ n→∞ ผลรวมอนันต์คือ?

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ — วิธีผลต่าง

หา $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$
ทอนเศษส่วนย่อย: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$
ผลบวกแบบเทเลสโคป: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$
เมื่อ $n \to \infty$: ผลบวกอนันต์คือ $= 1$
อนุกรมเป็น ลู่เข้า เมื่อผลบวกถึง $n$ พจน์เข้าใกล้ค่าคงที่

คุณเข้าใจแล้ว

Key idea

$\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
แยกผลบวกออกเป็นส่วนมาตรฐาน
วิธีผลต่าง เกิดแบบเทเลสโคป $f(r) - f(r+1)$