ฟังก์ชันเศษส่วนและกราฟ

กราฟที่ทำลายกฎเกณฑ์

• ฟังก์ชันที่คุณพบส่วนใหญ่มักเป็นพหุนาม — เรียบเนียน ต่อเนื่อง และนิยามได้ทุกที่ แต่หากนำพหุนามหนึ่งไปหารอีกพหุนามหนึ่ง คุณจะได้อะไรบางอย่างที่ซับซ้อนกว่า: เส้นกำกับแนวตั้ง เส้นกำกับเฉียง และพฤติกรรมที่เปลี่ยนแปลงอย่างมากใกล้จุดศูนย์ของตัวส่วน
• ฟังก์ชันตรรกยะ เป็นประตูสู่การเข้าใจเส้นโค้งที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

ฟังก์ชันตรรกยะคืออะไร?

• ฟังก์ชันตรรกยะ คือเศษส่วนของพหุนามสองตัว: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
• จุดศูนย์ของตัวส่วนสร้าง เส้นกำกับแนวตั้ง (where the function shoots to $\pm\infty$).

เส้นกำกับเฉียง (Slant asymptotes)

• เมื่อส่วนบนมี ดีกรีสูงกว่า ส่วนล่าง กราฟจะมี เส้นกำกับเฉียง (slant asymptote) — หาได้จากการหารยาวของพหุนาม
• พจน์เศษเหลือจะหายไปเมื่อ $x \to \infty$, ทิ้งให้ผลหารเป็นเส้นกำกับ

เส้นโค้งโอบกอดเส้นกำกับแนวตั้ง x = 2 และเส้นกำกับเฉียง y = x + 2 ห่างจากจุดกำเนิด

กราฟที่เกี่ยวข้อง

• คุณควรเชื่อมโยง $y = f(x)$ กับ:
  • $y^2 = f(x)$ — มีอยู่เฉพาะเมื่อ $f(x) \geq 0$, สมมาตรรอบแกน $x$.
  • $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — จุดตัดแกน x กลายเป็นเส้นประสม, เส้นประสมกลายเป็นจุดตัดแกน x.
  • $y = |f(x)|$ — สะท้อนส่วนลบเหนือแกน $x$.
  • $y = f(|x|)$ — สะท้อนครึ่งขวาไปทางซ้าย

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ — การวาดกราฟ $y = \dfrac{1}{f(x)}$

• ถ้า $f(x) = x^2 - 4$ (มีรากอยู่ที่ $\pm 2$, ค่าต่ำสุดที่ $(0, -4)$):
• $\dfrac{1}{f(x)}$ จะมีเส้นประสมแนวตั้งที่ $x = \pm 2$.
• ค่าต่ำสุดของ $f$ ที่ $-4$ จะกลายเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $\dfrac{1}{f}$ ที่ $-\dfrac{1}{4}$.
• หาช่วงค่าของฟังก์ชันเศษส่วนโดยใช้ ดิสคริมิแนนต์ และหา จุดเปลี่ยนทิศทาง ของมัน

คุณเข้าใจแล้ว