รากของสมการพหุนาม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | กำลังสอง |
| root/ruːt/ | ราก |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | กำลังสาม |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | การแทนค่า |
ความลับซ่อนอยู่ในสมการทุกสมการ
- สมการกำลังสองทุกสมการซ่อนตัวเลขสองตัวไว้ — รากของมัน คุณสามารถหาผลบวกและผลคูณของรากเหล่านั้นได้โดยไม่ต้องแก้สมการเลย
- ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์เหล่านี้ปลดล็อกปัญหาที่ปกติแล้วต้องใช้พีชคณิตที่ยุ่งเหยิงในการแก้
รากของสมการกำลังสอง
- สำหรับ $ax^2 + bx + c = 0$ ที่มีราก $\alpha, \beta$:
ตัวอย่างทำทีละขั้น. $2x^2 - 7x + 3 = 0$. ผลบวกราก $= \dfrac{7}{2}$, ผลคูณ $= \dfrac{3}{2}$. ตรวจสอบ: รากคือ $3$ และ $\dfrac{1}{2}$: ผลบวก $= 3.5$ ✓, ผลคูณ $= 1.5$ ✓.
รากของสมการกำลังสองและความสัมพันธ์它与สัมประสิทธิ์ของ它
รากของพหุนาม
y = ax³ + bx² + cx + d
รากคือจุดที่กราฟตัดแกน x — ผลบวกและผลคูณของรากเชื่อมโยงกับสัมประสิทธิ์
สำหรับ x² − 5x + 6 = 0 ผลบวกของราก α + β = −b/a คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
α + β = −b/a = −(−5)/1 = 5.
สำหรับ x² − 5x + 6 = 0 ผลคูณ αβ = c/a คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
αβ = c/a = 6/1 = 6.
รากของสมการกำลังสาม
- สำหรับสมการกำลังสาม $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ที่มีราก $\alpha, \beta, \gamma$:
- $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$.
ระวังเครื่องหมาย ผลบวกรากคือ $-\dfrac{b}{a}$ (ลบ) และผลคูณของรากทั้งสามคือ $-\dfrac{d}{a}$ (ลบเช่นกัน) การผิดเครื่องหมายเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด
สำหรับ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 ผลบวกของราก Σα = −b/a. หาผลได้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Σα = −(−6)/1 = 6. (รากคือ 1, 2, 3: ผลบวก = 6.)
สำหรับ ax³ + bx² + cx + d = 0 ผลคูณของราก αβγ = d/a
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ผลคูณของรากสามตัวคือ αβγ = −d/a (ลบ), ไม่ใช่ d/a
จับคู่ความสัมพันธ์ของรากแต่ละอย่างกับสูตร (สัมประสิทธิ์นำ a)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สมการกำลังสอง: α+β = −b/a, αβ = c/a. สมการกำลังสาม: Σα = −b/a, αβγ = −d/a (เครื่องหมายสลับตามดีกรี)
การแปลงราก
- เพื่อหาสมการ whose roots are changed simply, use a substitution (e.g. $w = \alpha + 1$).
- ตัวอย่าง: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=6$) → ราก $\alpha+1,\beta+1$ ให้ผลบวก $7$, ผลคูณ $12$, ดังนั้น $x^2 - 7x + 12 = 0$.
เมื่อ α + β = 5 และ αβ = 6 ผลคูณ (α+1)(β+1) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+1)(β+1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 5 + 1 = 12.
ตัวอย่างทำทีละขั้น — หา $\alpha^2 + \beta^2$
- กำหนด $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\alpha + \beta = 5$, $\alpha\beta = 6$.
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$.
- ผลบวกแบบ $\sum\alpha$ เป็น ฟังก์ชันสมมาตร ของราก
สำหรับ x² − 5x + 6 = 0, α² + β² = (α+β)² − 2αβ. หาผลได้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
คุณเข้าใจแล้ว
- สมการกำลังสอง: $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
- สมการกำลังสาม: $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
- แปลงรากด้วย substitution