1 · จำนวนและพีชคณิต

International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · SL · หัวข้อ 1

ดูสไลด์ ฝึกฝน

1.1

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อ SL บางส่วนสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด

เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง

The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.

1.2

การคำนวณอย่างแม่นยำและการประมาณค่า

เราบรรจุของได้โดยไม่เหลือหรือไม่?

ผู้จำหน่ายบรรจุดินสอ 72 ด้าม และปากกา 90 ด้าม ลงในถุงของขวัญที่เหมือนกัน เราจะหลีกเลี่ยงเศษเหลือได้อย่างไร
บทเรียนนี้ศึกษา ตัวประกอบ πρώ: จำนวนเต็มบวกที่หารจำนวนเต็มนั้นได้พอดี

วิธีทำ

ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
ใช้กำลัง prime powers ที่น้อยที่สุดร่วมกันสำหรับ GCD และมากที่สุดใน LCM
ประมาณค่าก่อนคำนวณ ใช้วงเล็บเพื่อรักษาลำดับการดำเนินการ

กรณีฝึกทำ

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

ตัวอย่าง:

72=2^3×3^2 และ 90=2×3^2×5. HCF ของทั้งสองคือ 2×9=18. จัดทำ 18 ถุง โดยใส่ดินสอ 4 ด้าม และปากกา 5 ด้าม ในแต่ละถุง LCM คือ 2^3×3^2×5=360

ต้นไม้ตัวประกอบ: 72 แยกเป็น 2, 2, 2, 3, 3 และ 90 แยกเป็น 2, 3, 3, 5; ตัวประกอบร่วมให้ GCD คือ 18 — ต้นไม้ตัวประกอบ: 72 = 2³ × 3² และ 90 = 2 × 3² × 5, ดังนั้น HCF = 2 × 3² = 18

จุดที่เข้าใจผิด

GCD หารทั้งสองจำนวนได้; LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน
พวกเขาตอบคำถามที่แตกต่างกัน
ค่าประมาณทศนิยมไม่ใช่เศษส่วนที่แม่นยำ

ไม่ถูกต้อง: GCD ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนจะมีค่ามากกว่าจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ GCD หารทั้งสองจำนวนได้ ดังนั้นจึงไม่มีวันมากกว่าจำนวนที่น้อยกว่า: GCD ของ 72 และ 90 คือ 18

การนำไปใช้

สำหรับข้อสอบที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลข ให้รักษาเศษส่วนให้ถูกต้องและแสดงการตัดทอน
สำหรับข้อสอบที่ใช้เครื่องคิดเลข ให้ป้อนนิพจน์ทั้งหมดและเปรียบเทียบกับค่าประมาณของคุณ

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

แอปพลิเคชันและการตีความ SL, หลักสูตรที่ประเมินครั้งแรกใน 2021

จุดสำคัญ:

Prime factor: จำนวนเฉพาะที่หารจำนวนเต็มได้พอดี
ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
ข้อควรระวัง: HCF จะหารทั้งสองจำนวนได้ลงตัว และ LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน

เขียนจากตัวหารร่วมใหญ่ของ 14

หา HCF และ LCM ของ 28 และ 42
HCF มีค่าน้อยกว่าจำนวนเต็มทั้งสอง

สำรวจ

การคำนวณแบบแม่นยำและการประมาณค่า

ตัวประกอบของจำนวนเฉพาะเปิดเผยโครงสร้างที่ร่วมกัน

รวมกำลังที่ร่วมกัน 2 และ 9 เพื่อแสดงเหตุผลว่า 18 กระเป๋าเหมือนกันทุกประการ

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
prime factor/praɪm ˈfæktə/	ตัวประกอบเฉพาะ
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	ตัวคูณ
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	อัตราส่วนร่วม

1.3

เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดเชิงสัดส่วน

เราสามารถหาราคาต้นฉบับกลับมาได้หรือไม่?

เสื้อโค้ดลดราคา 20% เหลือ ¥240 ส่วนลดคำนวณจากราคาเดิม ไม่ใช่จากราคาสินค้าลด
บทเรียนนี้ศึกษา ตัวคูณ: ตัวประกอบที่ทำเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในการคูณครั้งเดียว

วิธีทำ

การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
กลับค่าเปอร์เซ็นต์โดยการหารด้วยตัวคูณ
ในอัตราส่วน ให้หาจำนวนส่วนรวมก่อน

กรณีฝึกทำ

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

ตัวอย่าง:

ให้ราคาเดิมคือ P โมเดลคือ ราคาสินค้าลด=0.8P ดังนั้น P=240/0.8=300. การเพิ่มขึ้น 20% ต่อมาทำให้ได้ 240×1.2=288 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งสองจึงไม่หักล้างกัน

แผนภูมิแท่ง: ราคาเดิม 300 หยวน, 240 หลังลด 20%, 288 หลังเพิ่มอีก 20% — 300 → 240 → 288 หยวน: ลด 20% แล้วเพิ่ม 20% ไม่กลับไปที่ 300 เพราะการเพิ่ม 20% ครั้งหลังนั้นคำนวณจาก 240

จุดที่เข้าใจผิด

เปอร์เซ็นต์ใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์
การลบเปอร์เซ็นต์จะทำให้สูญเสียฐานนั้นไป
สำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบสะสม ให้คูณตัวคูณเข้าด้วยกัน อย่าบวกเปอร์เซ็นต์

ไม่ถูกต้อง: การลดลง 20% ตามด้วยการเพิ่มขึ้น 20% ไม่คืนราคาเริ่มต้นให้ เพราะการเพิ่มขึ้น 20% นั้นคำนวณจากจำนวนที่น้อยลง: 100×0.8×1.2=96 ไม่ใช่ 100

การนำไปใช้

สำหรับความแปรผันตรง ใช้ y=kx; สำหรับความแปรผกผัน ใช้ y=k/x
คำนวณค่า k จากคู่ตัวเลขที่กำหนดก่อนนำไปใช้กับค่าใหม่
ระบุสิ่งที่คุณควบคุมให้คงที่

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

แอปพลิเคชันและการตีความ SL, หลักสูตรที่ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

จุดสำคัญ:

ตัวคูณ: ค่าคูณที่ใช้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในขั้นตอนการคูณเดียว
การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
ระวัง: เปอร์เซ็นต์ต้องใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์

เขียนจากราคาสุดท้ายของ 480

ราคา 500 ลดลง 20 เปอร์เซ็นต์แล้วเพิ่มขึ้น 20 เปอร์เซ็นต์
หาราคาสุดท้าย การเปลี่ยนแปลงสองครั้งนี้ไม่หักล้างกัน

สำรวจ

เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และเหตุผลเชิงสัดส่วน

การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100

อธิบายว่าทำไมการลด 20% ตามด้วยการเพิ่ม 20% จึงได้ผลลัพธ์เป็น 288 แทนที่จะได้ 300

1.4

ลำดับเลขอนุกรมและความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต

วิธีทำ

สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
สำหรับอนุกรมเรขาคณิต u_n=ar^(n-1) และ S_n=a(1-r^n)/(1-r)
ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r|<1 เท่านั้น

กรณีฝึกทำ

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.

จุดของอนุกรมเลขคณิต 5, 8, 11 และอื่นๆ เพิ่มขึ้นทีละ 3 สำหรับแต่ละพจน์ จนถึงพจน์ที่แปด 26 — uₙ = 5 + 3(n − 1): ก้าวเท่ากัน 3 จัดให้พจน์อยู่บนเส้นตรง

จุดที่เข้าใจผิด

พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
ลำดับคือรายการ;อนุกรมคือผลบวก
ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้

ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด

การนำไปใช้

อธิบายว่าบริบทสนับสนุนการเปลี่ยนแปลงแบบบวกหรือคูณ
ในด้านการเงิน ให้แยกแยะระหว่างเงินฝากครั้งเดียวกับกระแสเงินฝากก่อนเลือกสูตรผลรวม

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

แอปพลิเคชันและการตีความ SL, หลักสูตรที่ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

จุดสำคัญ:

อัตราส่วนร่วม: ค่าคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในลำดับเรขาคณิต
สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1

เขียนจากพจน์ที่ 5 23

ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก 7 และผลต่างร่วม 4
หาพจน์ที่ 5อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ต้องการอัตราส่วนร่วมที่มีขนาดต่ำกว่า 1

สำรวจ

อนุกรม เรขาคณิต และความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ

สำหรับอนุกรมเลขคณิต, u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

1.5

โมเดลลำดับการฝากซ้ำและช่วงเวลา

เส้นเวลาใดที่ผลรวมนี้อธิบาย?

การชำระเงินเท่ากันสองครั้งสามารถสร้างดอกเบี้ยได้ต่างกันหากมีการชำระก่อนหน้า
บทเรียนนี้ศึกษา เงินฝาก (deposit): จำนวนเงินที่เพิ่มเข้าไปในบัญชี ณ เวลาที่กำหนด

วิธีทำ

กำหนดยอดคงเหลือทันทีหลังเหตุการณ์ที่กำหนด และกำหนดยอดคงเหลือเริ่มต้น
ด้วยตัวคูณการเติบโต r และการฝากเงิน d ที่สิ้นรอบ B₀=0 และ B_n=rB_(n−1)+d
ยอดคงเหลือที่ n คือ d(1+r+…+r^(n−1))=d(r^n−1)/(r−1) สำหรับ r≠1
สำหรับ r=1 ใช้ B_n=nd
จำนวนรอบ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

กรณีฝึกทำ

$$B_0=0,\quad B_n=rB_{n-1}+d,\quad B_n=d\frac{r^n-1}{r-1}\ (r\ne1)$$

ตัวอย่าง:

ใช้ตัวอย่างอัตราการเติบโต 5% ต่องวด และฝาก 100 หน่วย ปลายแต่ละงวด B₁=100, B₂=1.05×100+100=205 และ B₃=1.05×205+100=315.25 เงินฝากครั้งแรกได้รับดอกเบี้ย n−1 งวด ในขณะที่เงินฝากสุดท้ายไม่ได้รับดอกเบี้ยเมื่อวัดยอด B_n ดังนั้น B_n=100(1.05^n−1)/0.05 หากเป้าหมายอย่างน้อย 500, B₄=431.0125<500 และ B₅=552.563125≥500 ดังนั้น 5 งวดแรกก็เพียงพอ ยอดคงเหลือเกินกว่าเงินฝากทั้งหมด 5 ครั้งรวม 500 อยู่ 52.563125 หน่วย หากมีการฝากเท่าเดิมทุกต้นงวด และวัดยอดคงเหลือปลายงวด C_n=1.05(B_n); ดังนั้น C₃=331.0125 ไม่ใช่ 315.25

เส้นสมดุลสองเส้นบน 6 ช่วง, การฝากที่จุดเริ่มต้นสูงกว่าเล็กน้อยเมื่อเทียบกับฝากที่จุดสิ้นสุด; เส้นฝากที่จุดสิ้นสุดข้ามเป้าหมาย 500 ที่ n = 5 — การฝากเงินตอนต้นจะรับดอกเบี้ยเพิ่มหนึ่งรอบ; ยอดคงเหลือจากการฝากตอนท้ายจะผ่าน 500 ครั้งแรกที่ n = 5

จุดที่เข้าใจผิด

อย่าให้เงินฝากที่สิ้นรอบสุดท้ายได้รับระยะเวลาเพิ่มในการสร้างดอกเบี้ย
ยอดคงเหลือประกอบด้วยทั้งเงินฝากและการเติบโต ไม่ใช่เพียงดอกเบี้ยเท่านั้น
เป้าหมายที่แน่นอนกับเป้าหมายอย่างน้อยต้องมีการตรวจสอบจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน
อัตราต่อปีที่ประกาศไม่สามารถนำไปใช้เป็นตัวคูณรายเดือนได้โดยตรงโดยไม่มีการแปลงที่เหมาะสม

ไม่จริง: การฝากที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของรอบให้ยอดคงเหลือสุดท้ายเท่ากันเสมอ การฝากที่จุดเริ่มต้นของรอบจะได้รับดอกเบี้ยเพิ่มหนึ่งรอบ ดังนั้นยอดคงเหลือสุดท้ายจึงมากกว่า

การนำไปใช้

ภาพประกอบนี้สมมติว่าอัตราต่องวดคงที่ ฝากเงินเท่ากัน ไม่มีค่าธรรมเนียมหรือการถอนเงิน และใช้ช่วงเวลาการคิดดอกเบี้ย/ชำระเงินตามที่ระบุไว้
หากสิ่งเหล่านี้เปลี่ยนแปลง ให้ปรับสมการถอยหลัง: B_n=(1+i_n)B_(n−1)+d_n−w_n สำหรับกรณีฝาก/ถอนเงินที่ปลายงวด
รักษาบัญชีแยกประเภทการชำระเงินไว้ต่างหากเพื่อระบุการเติบโต
เปรียบเทียบยอดคงเหลือของงวดติดต่อกันก่อนจะอ้างถึงจุดตัดเป้าหมายครั้งแรก ในที่นี้ยอดคงเหลือทั้งหมดเป็นบวกหรือไม่เป็นลบ และ B_n−B_(n−1)=0.05B_(n−1)+100>0

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

แอปพลิเคชันและการตีความ SL, หลักสูตรที่ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

จุดสำคัญ:

การฝากเงิน: จำนวนเงินที่เพิ่มเข้าไปในบัญชี ณ เวลาที่กำหนด
กำหนดยอดคงเหลือทันทีหลังเหตุการณ์ที่กำหนด และกำหนดยอดคงเหลือเริ่มต้น
ระวัง: อย่าให้เงินฝากที่ปลายงวดสุดท้ายได้รับช่วงดอกเบี้ยเพิ่มเติม

สำรวจ

แบบจำลองและช่วงเวลาของการฝากซ้ำ

นิยามยอดคงเหลือทันทีหลังเหตุการณ์ที่กำหนด และระบุยอดเริ่มต้น

ติดตามการชำระเงินแต่ละรายการตามกรอบเวลาของดอกเบี้ยทบต้นที่กำหนด

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
deposit/dɪˈpɒzɪt/	เงินฝาก

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

หัวข้อเพิ่มเติมใน International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · SL