5 · ค্যালคูลัส

เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อ SL บางส่วนสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด

เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง

The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

• ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
• บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีทำ

• สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
• จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
• ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีฝึกทำ

ตัวอย่าง:

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่

จุดที่เข้าใจผิด

• อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
• จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน

ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

การนำไปใช้

• ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามตามที่ระดับกำหนด; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น
• ในระดับสูง เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดพร้อมขอบเขตที่กำหนดให้ถูกต้อง

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

• แอปพลิเคชันและการตีความ SL, หลักสูตรที่ประเมินครั้งแรกใน 2021
• ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

จุดสำคัญ:

• อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
• สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
• ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง

เขียนจากอนุพันธ์ของ 4

• สำหรับ y = x² − 6x หาอนุพันธ์ที่ x = 5
• หาค่าคงที่ อนุพันธ์เท่ากับ 0 ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดเปลี่ยนเสมอไป

ความน่าเชื่อถือของการประมาณค่ามีอย่างไร?

• สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
• บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีทำ

• ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าตรงข้ามกันที่ปลายสองจุด จะมีรากอยู่ระหว่างจุดเหล่านั้น
• วิธีนิวตันใช้ x ถัดไป = x - f(x)/f prime(x) โดยมีความชันที่ไม่เป็นศูนย์
• กฎสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณค่าอินทิกรัลจำกัดโดยใช้ความสูงที่จุดปลาย

กรณีฝึกทำ

ตัวอย่าง:

สำหรับ f(x)=x²-2 และ x₀=1.5 นิวตันให้ x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667 ด้วย y=x² บน [0,2] และช่องแบ่งเท่ากันสองช่อง h=1 และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู=(1/2)(0+2×1+4)=3; พื้นที่ที่แท้จริงคือ 8/3

จุดที่เข้าใจผิด

• การเปลี่ยนเครื่องหมายผ่านจุดไม่ต่อเนื่องไม่ยืนยันว่ามีราก
• การทำซ้ำอาจลู่เข้าไม่บรรจบหรือเกิดวงวน
• ค่าประมาณเกินหรือ underestimate ของกฎสี่เหลี่ยมคางหมูขึ้นอยู่กับความโค้ง ไม่ใช่ว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเพียงอย่างเดียว

ไม่เป็นจริง: การเปลี่ยนสัญญาณไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ารากมีอยู่เสมอไป รวมถึงการข้ามจุดที่ไม่ต่อเนื่อง การเปลี่ยนสัญญาณบ่งชี้ว่ามีรากก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้นเท่านั้น: f(x) = 1/x เปลี่ยนสัญญาณเมื่อ x ผ่าน 0 แต่ไม่มีราก

การนำไปใช้

• กำหนดเกณฑ์หยุดและรายงานความแม่นยำที่เหมาะสม
• ยืนยันรากโดยประมาณด้วยการระบุช่วงสัญญาณรอบคำตอบที่ปัดเศษที่กำหนด; อธิบายสาเหตุของความล้มเหลวในการใช้วิธีการทำซ้ำที่เลือก

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

• แอปพลิเคชันและการตีความ SL, หลักสูตรที่ประเมินครั้งแรกใน 2021
• ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

จุดสำคัญ:

• การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
• ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าตรงข้ามกันที่ปลายสองจุด จะมีรากอยู่ระหว่างจุดเหล่านั้น
• ระวัง: การเปลี่ยนแปลงสัญญาณข้ามจุดไม่ต่อเนื่องไม่ได้พิสูจน์ว่ามีรากอยู่

เขียนจากขั้นตอนนิวตันไปยัง 1.5

• สำหรับ x² − 2 ทำขั้นตอนของนิวตันหนึ่งครั้งจาก 2
• การเปลี่ยนเครื่องหมายผ่านจุดไม่ต่อเนื่องไม่ยืนยันว่ามีราก

เขียนจากค่านิวตันครั้งที่สอง 1.417

• ทำการคำนวณเดียวกันต่อ: เพิ่มขั้นตอนนิวตันอีกหนึ่งขั้นจาก 1.5.
• x2 = 1.5 ลบด้วย 0.25 หารด้วย 3 ≈ 1.4167 — ใกล้กับรากจริงของรากที่สองของ 2 ในแต่ละขั้นตอนความแม่นยำจะเพิ่มเป็นกำลังสองโดยประมาณ

เขียนจากช่วงที่แบ่งครึ่ง

• f(x) = x³ − x − 2 เปลี่ยนเครื่องหมายระหว่าง 1 และ 2
• ค่ากึ่งกลาง 1.5 ให้ค่า −0.125 ดังนั้นรากจะอยู่ในช่วง (1.5, 2) — เครื่องหมายของค่ากึ่งกลางเป็นตัวตัดสินว่าครึ่งใดจะคงอยู่ต่อไป