J · Vectors

คณิตศาสตร์ A-Level AQA 7357, ส่วน J (เวกเตอร์), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้พื้นฐาน:เรขาคณิตพิกัดจากส่วน C และพีทาโกรัส

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• ยานบินไร้คนขับบินจาก A(1, 2) ไปยัง B(5, 5) แต่ซอฟต์แวร์ภารกิจต้องการขาเดินทางกลับด้วย สูตรใดให้ทั้งการกระจัดขาไปและตัวกลับที่ถูกต้อง?
• ก่อนอ่านต่อ อธิบายว่าเวกเตอร์การกระจัดต้องการอะไรนอกจากระยะทาง และการเดินทางกลับต่างกันอย่างไร

วิธีทำ

• เวกเตอร์ มีขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ตำแหน่งระบุจุดจากจุดกำเนิดหนึ่ง การกระจัด จาก A ไป B คือ AB = b − a, และ BA = −AB กลับด้าน เพิ่มและลบองค์ประกอบ; สเกลาร์คูณทำให้เวกเตอร์ขนานกัน
• ผลคูณสเกลาร์ a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ วัดมุม: เวกเตอร์ตั้งฉากมี a·b = 0, และ a·a = |a|². ขนาดคำนวณจากพีทาโกรัส: |(4, 3)| = 5.
• เวกเตอร์: ปริมาณที่มีขนาดและทิศทางการกระจัด: เวกเตอร์จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง, b − a; ผลคูณสเกลาร์: ผลรวมของผลคูณองค์ประกอบ, เท่ากับ |a||b| cos θ

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• รักษาลำดับการลบ: BA = −AB, ดังนั้นการสลับจุดปลายจะเปลี่ยนทุกองค์ประกอบ การอ้างว่าขนานต้องมีความสัมพันธ์แบบสเกลาร์คูณระหว่างเวกเตอร์; แผนภาพเพียงอย่างเดียวไม่พิสูจน์ได้
• สำหรับความร่วมเส้นตรงของสามจุด แสดงให้เห็นว่าการกระจัดสองชุดขนานกัน AND แชร์จุดร่วมกัน; เวกเตอร์ขนานที่ตำแหน่งต่างกันพิสูจน์ไม่ได้ว่าอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

กรณีฝึกทำ

• Known: a = (4, 1) and b = (1, 3). The scalar product is a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. The magnitudes are |a| = √17 and |b| = √10, so cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, giving θ ≈ 57.5°. Since a·b ≠ 0, the vectors are not perpendicular.

ตัวอย่าง:

ด้วย A(1, 2) และ B(5, 5), หาการกระจัด AB, ขนาดและการกระจัดกลับ โดยใช้ลำดับเดียวกัน (คำตอบ: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3), ขนาดเท่ากันในทิศทางตรงข้าม)

ขอบเขตกับกับดัก

• เวกเตอร์ตอบคำถาม "ไกลแค่ไหน AND ทิศทางไหน"; ระยะทางเป็นสเกลาร์เท่านั้น ผลคูณสเกลาร์มองเห็นทิศทาง: มากที่สุดเมื่อเวกเตอร์เรียงแนวเดียวกัน, เป็นศูนย์เมื่อตั้งฉาก, และติดลบเมื่อสวนทางกัน

เตือน:

AB และ BA มีองค์ประกอบเหมือนกัน ข้ออ้างนี้ผิด: BA = −AB เปลี่ยนทุกองค์ประกอบ — จาก B กลับไป A คือ (−4, −3), ไม่ใช่ (4, 3). ขนาดเท่านั้นที่ตรงกัน

จุดสำคัญ:

เวกเตอร์: การกระจัด = จุดสิ้นสุด − จุดเริ่มต้น, กลับด้วยขาเดินทางกลับ; องค์ประกอบบวก; สเกลาร์คูณอยู่ขนาน; ผลคูณสเกลาร์ให้มุม, การตั้งฉากที่ a·b = 0 พอดี