Графики функций и наброски кривых
| English | Русский |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | функцией |
| parabola/pəˈræbələ/ | параболу |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | обратной величиной |
| roots/ruːts/ | корни |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | пересечения |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | асимптоты |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | точке разворота |
Форма функции
- У каждой функции есть характерная форма, как отпечаток пальца. Линейная функция — прямая линия; квадратичная — парабола; обратная имеет две ветви, которые никогда не касаются осей.
- Распознавание формы позволяет набросать график за секунды — без построения десятков точек.
Построение и чтение графиков
- Составьте таблицу значений: выберите значения $x$, вычислите значения $y$, нанесите координаты на график, соедините плавной кривой.
- Корни — это точки пересечения графика с осью $x$ (решения уравнения $y = 0$).
- Точка пересечения двух графиков решает систему двух уравнений одновременно.
Кабель подвесного моста висит в форме параболы, квадратичной кривой
Наброски кривых
y = ax³ + bx² + cx + d
Нарисуйте набросок кривой по её экстремальным точкам и местам пересечения с осями.
Корни графика — это места, где он:
Корни — это значения x, при которых y = 0 — места пересечения кривой с осью x.
Три семейства кривых
Три семейства, которые должен знать каждый математик: прямая, парабола, гипербола.
| Функция | Форма | Ключевые особенности |
|---|---|---|
| $y = mx + c$ | прямая линия | наклон $m$, пересечение с осью $c$ |
| $y = ax^2 + bx + c$ | парабола | U-образная, если $a > 0$, ∩-образная, если $a < 0$ |
| $y = \dfrac{a}{x}$ | гипербола | две ветви, асимптоты на осях |
Направление параболы. $y = x^2 - 4$ направлена вверх (форма U), так как коэффициент при $x^2$ положительный. $y = -x^2 + 4$ направлена вниз (форма ∩).
График функции y = ax² + bx + c (при a > 0) представляет собой:
Положительное a дает U-образную параболу; отрицательное a дает форму перевернутой чаши (∩).
График y = −x² + 4 направлен вверх.
Коэффициент при x² отрицателен (−1), поэтому парабола направлена вниз (форма ∩).
График y = a/x состоит из двух ветвей, которые никогда не касаются осей. Эти линии называются ______.
Асимптоты — это прямые, к которым приближается кривая, но никогда не касается. Для y = a/x осями координат являются асимптотами.
Точки экстремума (Расширенная программа)
- Парабола имеет одну точку экстремума (вершину) — минимум или максимум.
- Выделение полного квадрата показывает ее напрямую:
- $y = (x + p)^2 + q$ имеет точку экстремума в точке $(-p,\; q)$.
- Пример: $y = (x + 3)^2 - 8$ → точка экстремума $(-3, -8)$.
Знаки меняются. В $(x + 3)^2 - 8$ вершина находится в $(-3, -8)$ — координата $x$ имеет противоположный знак тому, что стоит внутри скобок.
Выделение полного квадрата, $y=(x+3)^2-8$, показывает вершину $(-3,-8)$ и ось симметрии $x=-3$
Пять основных форм графиков; зная каждую форму, можно быстро нарисовать график по уравнению
Кривая y = (x + 3)² − 8 имеет экстремальную точку в (−3, q). Чему равно q?
В форме полных квадратов (x+p)² + q экстремальная точка имеет координаты (−p, q), следовательно q = −8.
Использование графиков для решения уравнений
- Там, где прямая и кривая пересекаются, оба уравнения выполняются.
- Решение $x^2 - 4 = 2x + 1$ графически: постройте $y = x^2 - 4$ и $y = 2x + 1$, определите значения пересечения $x$.
Прямая y = x + 2 пересекает кривую y = x² в двух точках. Одна из них имеет x = 2. Каково другое значение x?
x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0 → x = 2 или x = −1.
Полное решение задачи по графику
- Для $y=x^2-2$ вычислите значения $y=2,-1,-2,-1,2$ при различных $x=-2,-1,0,1,2$ и постройте плавную симметричную кривую. Проведите $y=2$ с помощью линейки; точки пересечения дают решения $x=-2,2$ для уравнения $x^2-2=2$.
- Для $y=6/x$ используйте положительные и отрицательные значения, но никогда не $x=0$. Точки $(2,3),(3,2),(-2,-3),(-3,-2)$ находятся на отдельных ветвях. Базовые эскизы квадратичных функций требуют наличия корней и оси симметрии, а не координат вершины.
Найдите положительное решение: где y = x² − 2 пересекается с y = 2?
Пересечение справа находится в точке (2,2), следовательно x = 2.
Расширенные кубические и показательные графики
- Для функции $y=x^3-1$ таблица целых значений в $x=-2,-1,0,1,2$ содержит значения $-9,-2,-1,0,7$. Нарисуйте плавную возрастающую S-образную кривую; корень находится в точке 1, а пересечение с осью $y$ равно $-1$.
- Для функции $y=2^x+1$ таблица в $x=-1,0,1,2,3$ показывает значения $1.5,2,3,5,9$. Кривая приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ слева и растет вправо; она не касается асимптоты.
Для функции y = 2ˣ + 1 найдите значение y при x = 3.
2³ + 1 = 9.
Сдвинутые обратные величины и дробные степени (Расширенная программа)
- Функция $y=2/x+3$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. Сдвиньте обе ветви графика $2/x$ вверх на 3 единицы; не соединяйте их через ноль.
- Для построения графика $y=\sqrt{x}$ используйте значения $x\ge0$ и точки $(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)$. Для графика $y=1/\sqrt{x}$ используйте значения $x>0$ и точки $(1,1),(4,1/2),(9,1/3)$. Для функции $y=1/x^2$ как положительные, так и отрицательные входные значения дают положительные результаты, что обеспечивает симметрию относительно оси $y$.
Для функции y = 2/x + 3 укажите значение y на горизонтальной асимптоте.
Слагаемое 2/x стремится к 0 при росте |x|, поэтому горизонтальная асимптота имеет уравнение y = 3.
Вы поняли
- корни $=$, где кривая пересекает $x$-ось; пересечение решает систему двух уравнений
- квадратичная функция — это парабола (U если $a > 0$, ∩ если $a < 0$)
- вершина $(x+p)^2 + q$ находится в $(-p,\; q)$
- гиперболические кривые имеют асимптоты, которых они никогда не касаются